Operations from an Algebraic Perspective

العمليات العددية من منظور جبري

Number Operations from an Algebraic Perspective

كنت ألاحظ المعلمة مع تلاميذ المستوى الأول في الفصل وهي تشرح درس الجمع وتناقش فكرة إذا كان الصفر أحد أرقام عملية الجمع، والرقم الآخر في حدود 5. بعد أن وضع التلاميذ الكتب الدراسية جانبا، سألتهم أن يرفعوا أياديهم إذا كان يمكن أن يخبروها بالجواب على 4 + صفر، بدون عد أو باستخدام أصابعهم. أكثر الأيادي ارتفعت فورا، وجميعهم وافقوا على أن المجموع يساوي 4. ثم سألتهم هل يتوقع أي واحد منكم الإجابة على 9+صفر. بعد مهلة قصيرة، بضعة أطفال رفعوا أياديهم، وقال سامي سيكون الجواب 9. قبل أن تسأله المعلمة أن يوضح جوابه، صاحت ماري : أنا اعرف الإجابة على مائة + صفر. وفورا سمعت أطفال آخرين يصرخون بإثارة وشغف أنا يمكن أن أجمع ألف على صفر ؛ أنا أعرف أن حاصل جمع صفر ومليون ؛ و صفر و زيليون أيضا زيليون

الجبر يُعرَّف أحيانا كمعمم حسابي أو كلغة لتعميم الحساب. لذلك الجبر أكثر من كونه مجموعة قواعد لمعالجة الرموز؛ إنه أسلوب تفكير. عندما وصف الأطفال في تلك المسرحية ما أدركوه وهو أنه يمكنهم أن يوسعوا الفكرة إلى ما بعد الحالات المؤكدة والأعداد صغيرة، استعرضوا التفكير الجبري ومارسوا قوة الرياضيات. إن هدف هذه المقالة هو توضيح أن العديد من المفاهيم الجبرية الرئيسية يمكن أن تتطور بشكل عام مع الأرقام والعمليات الحسابية المعطلة في المستويات الابتدائية

التعبيرات الجبرية والمعادلات

المواجهة الأولى للأطفال مع العبارات الجبرية والمعادلات، غالبا تسمى جمل رقمية، عندما يتعلمون أن يسجلوا نتائج حالة إضافة. على سبيل المثال، إذا كان هناك ثلاث بطات تسبح في بركة قابلت بطتين أخرتين، التعبير الجبري الذي يرمز لهذه الحالة هو 3+2 ليسجل حدث الربط ويعين عدد البطات. المعادلة 3+2=5 تعلن أن رقم 5 اسم آخر لعدد البطات الكلي علامة التساوي تعني أن كل من 3+2 و 5 تعيين لنفس العدد

العديد من الأطفال يفهمون أن إشارة يساوي فقط أمر للحساب. هذا الاعتقاد الخاطئ يعزز مبكرا عندما يتعلموا الصيغة الحسابية العمودية للمعادلة 3+2؛ والخط الأفقي الذي يوضع تحت العدد الأقل هو إشارة لإيجاد الجواب. وحقيقي أيضا أننا عندما نضغط على الأزرار 3+2= في الآلة الحاسبة ينتج الشكل القياسي للعدد

لذلك الأطفال يحتاجون المزيد من الخبرات لممارسة وكتابة أنواع أخرى من الجمل العددية، مثل 5=3+2 و2+3 =1+4 لتعزيز مفهوم أن العدد يمكن التعبير عنه بأشكال مختلفة، يمكنك أن تعطي التلاميذ رقما وتطلب منهم تمثيله بعدة طرق باستخدام رقمين أو أكثر و عملية حسابية أو أكثر. كمثال، رقم 9 يمكن تمثيله 2+ 4 + 3 أو 2 × 5-1. من الأنشطة المرتبطة، استكمال المعادلات، حيث أن التعبير الجبري يتضمن على الأقل عملية واحدة من كل جانب لعلامة التساوي. كمثال، تكتب 7+5 كجانب واحد من معادلة، والطالب يمكنه أن يكتب 7+5=2×6 أو 7+5=10+5-3

الخصائص والعادات

الطلاب الذين يدرسون العمليات ويتعلمون الحساب، يواجهون خصائص ملازمة لنظام الأعداد، وعادات بخصوص استخدام لغة الرموز قد تم الموافقة عليها اجتماعيا. استكشافات خصائص العدد تزود التلاميذ بخبرات ثمينة في تعميم قواعد الحساب. الأطفال يمكن أن يكتشفوا ويفهموا عدم أهمية ترتيب الأعداد في مسائل جمع وضرب رقمين. كمثال، يمكن لطالب أن يبرر أن 3×4=4×3 وذلك بتوضيح أن ثلاث مجموعات من أربعة عدادات يمكن أن تتحول إلى أربعة مجموعات من ثلاثة ويمكن ببساطة قول أن هذين التعبيرين هما طريقتان مختلفتان لتمثيل نفس العدد. وباستخدام تجميع آخر للعدادات يمكن توضيح أن 3×4=2×6 . الدارسون يطبقون خاصية التبديل عندما يحسبون 3+14 ببدء العد من 14 بدلا من 3
ويحسبون 23×2 بمضاعفة الرقم 23 مرتين بدلا من مضاعفة رقم 2 ثلاثة وعشرون مرة

العديد من الدارسين الصغار يفترضون بشكل خاطئ أن خاصية التبديل يمكن أيضا تطبيقها على مسائل الطرح والقسمة. وكثيرا ما يحدث أن يقرأ الأطفال 2- 5 مثل 5 ناقص 2 أو يقرءوا التعبير بشكل صحيح وهو 2 ناقص 5 لكن يصرحوا أن الجواب 3. عندما يقدم المعلم التمثيل الرمزي لهذه العمليات لأول مرة ،السؤال هل يغير ترتيب الرقمين الجواب؟ لابد من طرحه للبحث، إ، لم يكن من قبل التلاميذ، فيكون من قبل المعلم. كمثال، المعلم يمكنه أن يطلب من الأطفال تأليف مشكلة توضح الفرق بين التعبيرين 2- 5 و 5- 2 . ومن الخطأ أن يصرح المعلم بأن التعبيرات مثل 5- 2 أو 2÷6 لا يمكن تحقيقها. قبل أن يتعلم التلاميذ الأعداد السالبة والكسور ، العديد منهم قد رأوا الآلة الحاسبة تستمر في العد تنازليا بعد الصفر وعرفوا أيضا من خبراتهم أنه ممكن تقسيم قطعتين من البيتزا على ستة أشخاص. لذلك يجب أن يتجنب المعلمون قول أننا دائما نطرح العدد الأصغر من عدد الأكبر أو أننا نقسم العدد الأكبر على العدد الأصغر

عندما يبدأ التلاميذ جمع أو ضرب ثلاثة أعداد أو أكثر، يجدون أنه بغض النظر عن ترتيب الأرقام في عملية الحساب، النتيجة دائما واحدة، فإنهم غالبا يربطون هذه الخصائص عندما يستخدمون إستراتيجيات معقدة في حساب حقائق أساسية. كمثال، 8+5 يمكن التفكير فيها كما لو كانت ( 8+2) + 3؛ و8 × 6 مثل 2×( 8×3 ). هذا المبدأ يستخدم أيضا في إستراتيجية الحساب العقلي لتبسيط الحسابات، مثل 7 + 4 + 6 +3 و 57× 25×4 وأيضا كأسلوب للتأكد من صحة العمليات الحسابية من خلال تنفيذها بطريقين مختلفتين

عندما يحاول التلاميذ حساب قيمة تعبيرات جبرية مثل 7-5-2 و 3+2× 5 يجدون أن الأجوبة قد تكون مختلفة وتعتمد على الترتيب الذي تمت به العملية الحسابية. فالقضية هنا الاتصال؛ إنه من الضروري أن يتعلموا قواعد الرياضيات التي يتبعها الآخرون واتفقوا عليها. لاحظ أن العديد من الآلات الحاسبة بها الدالة الرابعة غير مبرمجة على الترتيب القياسي في تنفيذ العمليات لكنها تنفذ العمليات طبقا لترتيب دخولها. وفي بعض الآلات الحاسبة، 6+2×3 تُحسَب كما لو كانت6+(2×3) بدلا من 6+(2×3) ، حيث أن عملية الضرب تأخذ الأسبقية. سلسلة من العمليات الحسابية تستخدم أيضا في قاعة الدروس كنوع من التدريب الحسابي العقلي الشفهي وفيها المعلم يصيح بسلسلة من الأرقام والعمليات، مثل : 8+5-3×7÷10= ـــ

واحدة من أكبر الخصائص المهمة في الحساب والجبر هو قانون التوزيع للضرب والجمع. لاستكشاف هذه الفكرة بشكل عام، يمكن أن يطلب المعلم من الطلاب حساب عدد الأشياء الموجودة في الشكل رقم1، مستندا على معرفته ببعض قواعد الضرب وأن ينفذوا هذه العملية بأكثر من أسلوب. بالنظر إلى ترتيب الأشياء كمجموعتين، الطلاب يمكنهم أن يحسبوا المجموع في صورة 3×2 و3×4. ومن منظور آخر، يجدون ثلاثة صفوف في كل منها ستة أشياء. وهذه العلاقة يمكن أن تسجل بالرموز باستخدام ترتيب العمليات المتعارف عليه: 3×2+3×4=3×(2+4)=3×6

إن قانون التوزيع يستخدم غالبا كإستراتيجية لحساب نتيجة عملية ضرب مجهولة عن طريق حقائق معروفة. كمثال 6×7 يمكن أن تفكر فيها كأنها رقم ستة مضاعف خمس مرات مضاف إليه رقم ستة مرتين أو رقم خمسة مضاعف سبعة مرات مضاف عليه سبعة ، ويمكن تمثيلها بالرموز كالتالي: 6×7=6×(5+2)=6×5+6×2=(5+1)×7+5×7+1×7=35+7

العلاقات بين العمليات

هناك فكرة جبرية أخرى مهمة تتضمن العلاقة المعكوسة بين الإضافة والطرح وبين الضرب والقسمة. تصور مجموعة من ثلاثة أشياء ومجموعة أخرى من شيئين. هاتان العمليتان 3+2=5 و 5-2=3، تثبت أن طرح رقم 2 من الناتج طريقة لإلغاء إضافة رقم 2 ، والعكس بالعكس؛ إذن الإضافة والطرح هما عمليتان معكوستان

نفس العلاقة موجودة بين الضرب والقسمة

تفهم العمليات المعكوسة و القدرة على التعرف على عائلات الأرقام الأساسية وكتابتها يسمح بمرونة أكبر في الحساب ويمكن الطلاب من معالجة وحل المعادلات الجبرية. كمثال، معرفة أن 3+2=5 و 5-2=3 معادلتان متكافئتان يمكن أن يساعد التلاميذ على إدراك لماذا س + 2 = 5 يمكن أن تتحول إلى س = 5 - 2

يجب إعطاء الطلاب الفرص والتحديات أيضا التي تعكس العلاقات بين العمليات الأربع على التوازي. الطلاب يعملون في مجموعات صغيرة وقد يطلب منهم المعلم مناقشة التشابه بين عمليات الضرب والقسمة و عمليات الجمع والطرح وكذلك وجه الشبه بين عمليات الضرب والجمع و بين القسمة والطرح. ويمكنهم أن يلخصوا أجوبتهم بالكتابة أو الرسم لتوضيح العلاقات . في المستويات الأعلى، الطلاب يجب أن يلاحظوا ويدركوا الربط بين قاعدة طرح رقم (صحيح (إضافة المقابل له) وكذلك قانون القسمة على كسر (الضرب في عكسه

المتغيرات

يمكن ملاحظة الانتقال من الحساب إلى الجبر باستخدام الحروف الأبجدية كأشياء رياضية. المتغير هو المفهوم الذي يسمح للحساب أن يعمم وهو يمثل مجموعة من الأعداد. في المستويات المبكرة، الأطفال يقابلون فكرة المتغير في معادلات الجمع التي تفتقد أحد الأرقام مثل 3+ م = 5 ، عندما يصفون خصائص رقم ( أي عدد مضروب في صفر الناتج صفر )، وعندما يعممون أنماط عددية مثل( عدد إطارات السيارات أربعة أضعاف عدد السيارات ). مناقشة استخدام المتغيرات تتضمن ثلاثة سياقات -- حل المعادلات، تعميم الخصائص، واستكشاف العلاقات الداولية

حل المعادلات

في معادلة مثل 5 + ن = 8 ، المتغيّر ن يحفظ قيمة مجهول محدد. إن المهمة هنا هي حل المعادلة لاكتشاف قيمة الرقم الذي يحل محل المتغير ن ويجعل المعادلة صحيحة. الأطفال يتعرضون إلى هذه الفكرة أولا من خلال مسائل الجمع المتضمنة رقما مفقودا. عادة المتغير يمثل بالرمز م وأحيانا كعلامة تغطى الرقم المفقود، أو كإطار يُكتب فيه العدد المفقود. الطفل يمكنه أن يجد العدد المجهول بتذكرة قواعد الجمع، باستخدام التخمين والاختبار، أو باستخدام إستراتيجية العد

اعتبر طلاب الفصل الدراسي معادلة مثل ن + 0 = ن معادلة خاصة للحل حيث أنهم اكتشفوا إمكانية تطبيقها على جميع الأرقام، وممكن ترجمتها بطريقة التمثيل بالرموز لتنص على أن " أي رقم مجموع عليه صفر يساوي نفس الرقم " ويأتي من الجهة الأخرى، الأطفال الذين يكتشفون ويصفون هذه القاعدة الخاصة بإضافة الصفر مثل اللذين أشرنا إليهم في بداية المقال وربما يخلقون أو يوضحون المعادلة بالأسلوب الرمزي لتعميم النمط: 4+0=4 ، 9+0=9 ، 100+0 =100

العلاقات الدالية

تعبير جبري مثل 2 × ن +1 يمكن أن يستخدم كنمط عام يُعرَّف كدالة. والدالة واحدة من أهم الأفكار الأساسية في الرياضيات ويمكن توضيحها بأن لأي قيمة للرمز ن التعبير لديه قيمة وحيدة. القيم المختلفة للمتغير ن والقيم المصاحبة للتعبير تشكل مجموعة الأزواج المرتبة ( 1, 3)، ( 2, 5)، ( 3, 7)، وهكذا، حيث ن = 1، 2، 3

يمكن تمثيل هذه العلاقة في شكل جدول أو رسم بياني

في المستويات الابتدائية، العمل الذي يتعلق بمفهوم الدوال يركز على الأنماط العددية والعلاقات الرياضية

كمثال، الأطفال يمكنهم اكتشاف مشكلة إيجاد كم عدد العيون لدى مجموعة صغيرة من الأشخاص أو في الفصل بالكامل

و يمكنهم أن يستخدموا الحساب، الصور، أو يستخدمون أشكال صغيرة لتمثيل العملية الحسابية ،(Howden 1989)

وبعد ذلك يسجلون اكتشافاتهم في جدول

المعلم يجب أن يشجع الطلاب على استخدام كلمات تصف الأنماط العددية وتعمم النتيجة. والأطفال يمكنهم أن يربطوا النمط الذي يعبر عن عدد العيون بالعد بقفز رقم، أو إضافة 2 على الرقم السابق. ونلاحظ إن الأطفال يقابلون فكرة الدالة عند التركيز على العلاقة بين نمطين؛ فيمكن أن يطلب منهم المعلم أن يتوقعوا، بدون الاستمرار في تكرار النمط، كم عدد العيون لدى عشرة أشخاص. وعند توضيح الجواب يمكن أن يقول طفل أن عدد العيون مساوي لعدد الأشخاص مضافا إلي نفسه، أو مضاعف ( مضروب × 2 ). كتابة قانون النمط في صورة م + م أو 2 × م يوضح استخدام المتغير كما لو كان يمثل أي رقم. وطلاب المستويات المتقدمة سيتعلمون أن كتابة 2م تعني 2 × م

هذه الدالة يمكن أن تمثيلها في صورة معادلة تحتوي على متغيرين، كمثال ك =2 × ق أو 2ق = ك. من المهم التأكيد على أن المتغيرات ك وق تفسر كعدد العيون وعدد الأشخاص بدلا من استخدام مختصرات لهذه الكلمات. هذا التفهم يمكن أن يساعد الأطفال في المستقبل على تجنب الأخطاء الموثقة الضمنية في كتابة المعادلة 6ق = ع بدلا من ق =6 ع لتمثيل

(Clement 1982) "هذا البيان " أن عدد التلاميذ يساوي ستة أضعاف المعلمين

ولتعريف الدالة 2ن + 1 اعتبر أن هناك مشكلة عمل مثلثات باستخدام عيدان تنظيف الأسنان. إذا انفصلت المثلثات عن بعضها، فتكون ثلاثة عيدان لازمة لكل مثلث ويصبح قانون النمط 3× م. افترض، أن تلك المثلثات تشترك في جانب رئيسي. فإننا نتوقع أننا نحتاج واحد وعشرون عودا لعمل عشر مثلثات. ويمكن تمثيل هذه العلاقة هو القانون 2 × م + 1

إن التأكيد على تصور الأفكار نفسها بوضوح والتفكير العميق في العمليات الرياضية، وربط الرياضيات ببعضها خلال فترة التعليم المبكر للحساب يعد الأطفال للدراسة المنهجية للجبر وكذلك يجعل دراسة الأرقام والعمليات الحسابية أكثر معنى وإثارة للعقل فالدارسون الصغار يمكنهم أن يجدوا أنماط وأنظمة ويعمموا خبراتهم مع الأرقام

Clement, John. "Algebra Word Problem Solutions: Thought Processes Underlying a Common Misconception." Journal for Research in Mathematics Education 13 (January 1982): 16-30

Howden, Hilde. "Implementing the Standards: Patterns, Relationships, and Functions." Arithmetic Teacher 37 (November 1989): 18-24.

jvance@uvic.ca