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Résumé
Cet article étudie le développement de la compréhension
d'un sens particulier des opérations d'addition et de soustraction.
Nous nous sommes intéressée plus particulièrement
aux problèmes de comparaison. La méthode utilisée
privilégie un échange entre une adulte et une enfant. Cette
discussion a permis d'identifier comment évoluent les représentations
mentales, les procédures et les réflexions de trois enfants
de 9 ans. Ces enfants ont été identifiées en difficulté
d'apprentissage en mathématiques par leur enseignante. Cette étude
nous permet d'améliorer notre compréhension du phénomène
de l'apprentissage chez des élèves qui éprouvent
des difficultés. Le cas échéant, elle permet de donner
les balises d'un accompagnement qui permettrait de faciliter le développement
de la compréhension pour ce type de problèmes.
Abstract
This article is a study of the development of the understanding of a particular
sense in the operations of addition and substraction. We concentrated
particularly on compare problems. The method used favours an exchange
between an adult and a child. Through this discussion, we were able to
determine how mental representations, procedures and reflections developed
in three nine-year-old children. These children were singled out by their
teacher as experiencing difficulty in learning mathematics. This study
allows us to better understand how children with problems go about learning.
Where necessary, it allows us to point the way to facilitating the development
of understanding for this type of problem.
Introduction
Nous nous sommes intéressée à l'étude de la
démarche d'apprentissage de trois enfants identifiées en
difficulté en mathématiques. Cette préoccupation
nécessite que nous nous écartions des modèles médicaux
ou portants sur des préalables à l'apprentissage qui ont
souvent été utilisés avec ces élèves.
Elle nous amène aussi à privilégier le point de vue
de l'apprentissage tout en tenant compte de connaissances développées
pour les situations à proposer et ses composantes (Rosenthal et
Resnick, 1974; Nesher, 1982; Carpenter et Moser, 1982, 1983; Carpenter,
Hierbert et Moser, 1981; Riley, Greeno et Heller, 1983; Fayol et Abdi,
1986; Fayol, Abdi et Gombert, 1987; Fayol, 1990). La perspective constructiviste
nous permet de nous attarder au développement de la compréhension
de concepts, du point de vue de l'apprentissage. Nous choisissons de limiter
notre domaine d'exploration au champ conceptuel des structures additives
(Vergnaud, 1991), plus particulièrement aux situations de comparaison.
Le champ conceptuel des structures additives intègre des situations
qui impliquent une addition ou une soustraction. Le développement
de la compréhension des situations d'ajout et de retrait d'éléments,
de réunion et de complément d'ensembles et enfin de comparaison
d'ensembles contribuent ainsi à l'élaboration de la compréhension
des opérations d'addition et de soustraction. Nous avons choisi
de nous attarder, dans cet article, aux problèmes de comparaison
d'ensembles. Plusieurs études se sont intéressé à
différents aspects relatifs aux problèmes de comparaison
d'ensembles (Briars et Larkin, 1984; Riley et Greeno, 1988; Stern, 1993;
Verschaffel, 1994). Ces études ont identifié les procédures
utilisées par les élèves. Le but poursuivi par notre
étude est l'identification des représentations mentales
qui initient les procédures des élèves car, nous
savons que la coordination, entre ces représentations et les procédures,
nous permet de comprendre les réflexions construites par les élèves
(Piaget, 1977). Ainsi, nous devenons en mesure de reconnaître tant
les filiations que les difficultés que les élèves
doivent surmonter. Nous pourrons, éventuellement, proposer des
balises pour guider l'intervention orthopédagogique. À cet
effet, la méthode utilisée nous invite à apprécier
l'apport de l'accompagnement à offrir durant cette construction
des compréhensions.
Notre conception de l'apprentissage
Nous nous intéressons à l'élaboration de compréhensions
chez l'élève. La perspective constructiviste nous amène
à définir l'apprentissage comme étant une construction
personnelle des connaissances chez un individu. Selon Piaget (1975), le
contact de l'enfant avec une information nouvelle amène une interprétation
à partir de ses connaissances. Il s'agit ici d'un moment d'assimilation.
La nouveauté du concept ou l'écart qui sépare les
connaissances antérieures de ce concept pourra créer une
déformation plus ou moins importante. La prise de conscience, par
l'élève, d'une différence entre ses connaissances
et la nouvelle connaissance crée un inconfort. Ce dernier suscite
alors une réorganisation des connaissances menant vers un nouvel
équilibre. Toutefois, dans le cas où une trop grande différence
apparaît entre les connaissances antérieures de l'élève
et l'information nouvelle, l'adaptation devient difficile, voire impossible.
D'où l'importance du concept de zone de développement proche
de Vygotsky (1985). Ainsi, comment interpréter l'affirmation d'une
enfant de 9 ans qui nous dit que 2x5=50? Une telle affirmation ne vient
pas uniquement du hasard. L'enfant explique, à ma demande, que
2x5=2+5. Elle ajoute: «2x5=50, ça ne marche pas, c'est 5+5.
Elle conclura que 5+5=50 parce qu'initialement il s'agissait de 2x5 et
qu'une multiplication est «plus grande» qu'une addition. Ainsi
5x5=50 et 2x5=50. L'écart, entre sa compréhension intuitive
(une multiplication est plus grande qu'une addition) et la formalisation
présentée 2x5, ne lui permet pas de réorganiser ses
connaissances. Nous voyons s'emmêler la recherche d'une relation
entre addition et multiplication, où interviennent des formalisations
mathématiques (2x5 = 2+5 = 5+5), sans qu'un sens n'apparaisse pour
les symboles x, +.
Quel type de construction une élève identifiée en
difficulté d'apprentissage par son enseignante réalise-t-elle
dans des situations de comparaison? Dans les écoles, les enfants
identifiés en difficulté d'apprentissage réussissent
certaines tâches et en échouent d'autres, que nous croyons
semblables. En effet, dans certains cas, les élèves créent
des relations entre leurs connaissances antérieures qui permettent
des réussites. Toutefois, ces réussites sont situées
dans des contextes particuliers. En modifiant un élément
du contexte, l'élève est souvent incapable de résoudre
le problème posé. Nous dirons (DeBlois, 1996, 1997) que
les élèves manifestent une structuration partielle de leurs
connaissances. Il faudra, à l'élève, une bonne dose
de confiance pour accepter de modifier ses compréhensions, puisqu'elles
permettent la résolution de certains problèmes.
La résolution de problèmes - le cas des situations de
comparaison d'ensembles
Les études de Verschaffel (1994) et de Riley et Greeno (1988),
entre autres, précisent la difficulté des situations de
comparaison. Premièrement, contrairement aux problèmes qui
sont habituellement présentées aux enfants, ceux-ci impliquent
une situation statique, c'est-à-dire, dans laquelle n'intervient
aucune transformation du type enlever, ajouter ou acheter. Une deuxième
difficulté relève de la recherche impliquée. Trois
formes différentes peuvent se présenter. Dans le premier
cas, on demande de chercher la différence entre deux ensembles
alors qu'on donne le nombre d'éléments pour chacun. Par
exemple: Tu as X autocollants. Ton ami a Y autocollants. Combien d'autocollants
as-tu de plus (ou de moins) que ton ami? Dans le deuxième cas,
on cherche l'ensemble comparé. Ainsi, on propose: Tu as X cartes
de hockey. Ton ami a Y cartes de hockey de plus que toi. Combien ton ami
a-t-il de cartes de hockey? Ou encore: Tu as X autos dans ta boîte
à jouets. Ta voisine a Y autos de moins que toi. Combien ta voisine
a-t-elle d'autos dans sa boîte à jouets? Dans le dernier
cas, on cherche l'ensemble de référence. On pourra présenter
ce type de situation: Tu as X billes. Tu as Y billes de plus que ton ami.
Combien de billes ton ami a-t-il? Ou encore: Tu as X crayons de couleurs.
Tu as Y crayons de couleurs de moins que ton professeur. Combien de crayons
ton professeur a-t-il?
Enfin, une formulation appelée «consistante ou inconsistante».
Verschaffel (1994) ajoute à la difficulté. La première
formulation implique que la relation (de plus), permettant de retrouver
l'ensemble inconnu, est consistante avec l'opération à réaliser
(l'addition). Par exemple, on parlera de formulation consistante dans
le cas suivant: Tu as X cartes de hockey. Ton ami a Y cartes de hockey
de plus que toi. Combien ton ami a-t-il de cartes de hockey? Dans le second
type de formulation, on dira plutôt: Tu as X crayons de couleurs.
Tu as Y crayons de couleurs de moins que ton professeur. Combien de crayons
ton professeur a-t-il? On appelle ainsi l'opération d'addition
en utilisant la relation «de moins».
Un modèle de développement de la compréhension
Herscovics et Bergeron (1989) ont réalisé une analyse du
concept de l'addition. Cette analyse a été réalisée
à partir d'expérimentations réalisées auprès
d'élèves qui ne présentent pas de problèmes
particuliers en mathématiques. Les compréhensions intuitive,
procédurale, abstraite et formelle ont été décrites
par l'identification de critères. En nous appuyant sur cette analyse,
nous pouvons poser quelques hypothèses relativement aux représentations
mentales initiales de l'élève, aux procédures utilisées
et aux réflexions à construire dans des situations de comparaison.
À titre d'hypothèses, nous pourrons voir l'élève
reconnaître, qualitativement, l'ensemble qui contient le plus ou
le moins d'éléments. Ce critère correspond à
la composante intuitive du modèle de Herscovics et Bergeron (1989).
Des procédures comme la correspondance terme à terme et
le dénombrement pourront apparaître. L'étude de Therrien
(1993), auprès d'une classe d'élèves de 6 ans, permet
d'ailleurs de constater que la procédure qui suscite le plus de
réussites dans les problèmes de comparaison est la correspondance
terme à terme entre les éléments des deux ensembles,
ce qui est confirmé par l'étude de Stern (1993). Cette analyse
conceptuelle (Herscovics et Bergeron 1989), adaptée aux situations
de comparaison, nous permet d'ajouter que le dénombrement, appelée
aussi le comptage, jouera un rôle important. Les travaux de Fuson
(1988, 1991) nous ont permis d'en apprécier l'importance. Enfin,
les réflexions qui pourraient émerger, toujours d'après
cette analyse conceptuelle, sont relatives à la reconnaissance
de la relation de différence entre les ensembles à comparer
et à celle de la réversibilité de la relation «de
plus» et «de moins». De nouvelles représentations
initiales, d'autres procédures pourront laisser émerger
de nouvelles réflexions. L'identification de ces dernières
pourraient contribuer à une meilleure compréhension de l'appropriation
des connaissances chez des élèves qui éprouvent des
difficultés.
Cette étude cherche donc à répondre à la question
suivante: Quelles sont les représentations mentales et les procédures
que trois enfants en difficulté d'apprentissage coordonnent pour
construire leurs réflexions dans des situations de comparaison?
Oui, mais comment...
Chacune des élèves a été identifiée
en difficulté en mathématiques par son enseignante, plus
particulièrement en résolution de problèmes. Les
trois élèves viennent d'écoles différentes.
Cependant, les enseignantes de chacune des trois élèves
utilisent la collection Espace Mathématique (1989) avec leurs élèves.
Il est opportun de noter que, pour les besoins de cet article, les prénoms
des enfants ont été changés.
Une rencontre entre la chercheuse et les orthopédagogues a permis
de discuter le cadre théorique qui a servi de toile de fond à
cette recherche. Cette façon d'intervenir est nouvelle pour les
orthopédagogues qui participent au projet. Ces dernières
considèrent donc qu'elles se donnent ainsi un perfectionnement
tout en cherchant à susciter le développement d'une compréhension
chez l'élève. Le but de la chercheuse est d'étudier
comment s'élabore cette compréhension sous l'influence de
ce type d'intervention. Un protocole, pour les entrevues d'évaluation
et d'intervention, a ensuite été proposé aux trois
orthopédagogues. C'est ce que nous présentons maintenant.
Une entrevue d'évaluation, où les questions posées
portaient sur les habiletés de comptage, la compréhension
de l'écriture des nombres et la résolution de situations
d'ajout et de réunion, a permis de confirmer le dépistage
réalisé par l'enseignante. Le détail de ces entrevues
est déjà publié (DeBlois, 1997). Ainsi, nous ferons
un résumé des éléments que nous jugeons indispensables
au lecteur et à la lectrice et ce, pour chacune des élèves.
Durant les entrevues d'intervention, les orthopédagogues ont adapté
les nombres selon les connaissances et les habiletés de comptage
observées durant l'évaluation. Ainsi, dans la cas où
une enfant ne peut compter plus de 38 bâtonnets, on proposera des
situations où les sommes ou les différences n'excèdent
pas ce nombre. Si l'enfant ne peut lire ou écrire les nombres plus
grands que 69, les situations proposées ne pourront en faire mention.
De plus, les acteurs de chacune des situations impliquent des personnes
connues de l'élève (son enseignante, son frère...).
Les situations de comparaison ont été présentées
verbalement. Toutefois, ces dernières étaient aussi écrites
sur une carte que l'enfant pouvait consulter au besoin. Après avoir
fait la lecture de la situation à l'enfant, nous proposions de
lui demander de la raconter dans ses mots. Des jetons, des enveloppes,
des bâtonnets et des élastiques étaient à la
disposition de l'enfant afin qu'il puisse illustrer la situation et expliquer
ses procédures. On pouvait aussi fabriquer du matériel avec
l'enfant si cela s'avérait nécessaire.
Nous avons proposé 18 situations différentes aux enfants.
Parmi ces situations, 6 étaient des situations d'ajout ou de retrait
d'éléments, 6 étaient des situations de réunion
ou de complément d'ensembles et 6 étaient des situations
de comparaison. Les types de situations alternaient pour chacune des rencontres.
On proposait une ou deux situations par rencontre. Ces dernières
avaient lieu chaque semaine. Elles étaient d'une durée de
30 à 40 minutes. Rappelons que les nombres ont été
choisis par l'orthopédagogue en fonction des habiletés de
comptage et de la familiarité de l'élève avec les
nombres durant l'entrevue d'évaluation initiale.
Voici les 6 situations de comparaison que nous étudions dans cet
article.
Tu as X autocollants. Ton ami a Y autocollants. Combien d'autocollants
as-tu de plus que ton ami? (recherche d'une différence)
Tu cueilles X fleurs pour faire un bouquet. Ta voisine cueille Y fleurs.
Combien ta voisine a-t-il cueilli de fleurs de moins que toi? (recherche
d'une différence)
Tu as X cartes de hockey. Ton ami a Y cartes de hockey de plus que toi.
Combien ton ami a-t-il de cartes de hockey? (recherche de l'ensemble comparé)
Tu as X autos dans ta boîte à jouets. Ta voisine a Y autos
de moins que toi. Combien ta voisine a-t-elle d'autos dans sa boîte
à jouets? (recherche de l'ensemble comparé)
Tu as X billes. Tu as Y billes de plus que ton ami. Combien de billes
ton ami a-t-il? (recherche de l'ensemble de référence)
Tu as X crayons de couleurs. Tu as Y crayons de couleurs de moins que
ton professeur. Combien de crayons ton professeur a-t-il? (recherche de
l'ensemble de référence)
Chacune des interventions commençait par la situation de comparaison
suggérée. Cette dernière était accompagnée
des réponses possibles des enfants et d'un questionnement
destiné à guider l'orthopédagogue. Ce questionnement,
élaboré à partir des hypothèses mentionnées
ci-dessus, était autant de pistes de réflexions ou d'explorations
que nous proposions à l'orthopédagogue de soumettre à
l'enfant. Voici les questions qui pouvaient être proposées:
Qui a le plus d'autocollants?
Montre-moi comment tu fais pour savoir?
Montre-moi ce que vous avez «de pareils» tous les deux?
Montre-moi les autocollants que tu as en plus, combien cela fait-il?
Comment as-tu fait pour trouver?
Combien ton ami a-t-il d'autocollants de moins (ou de plus) que toi?
Qu'as-tu fait pour trouver ce qu'il a en moins (ou en plus)?
Puisque la démarche de l'enfant servait de guide, ce questionnement
n'a pas été suivi selon un ordre linéaire. À
cet effet, de nouvelles questions ont pu émerger. Chacune des entrevues
a été filmée sur vidéo. Une transcription
verbatim a été réalisée. L'analyse qui a suivi
s'est appuyée sur ces documents
Les résultats
Étude de cas de Karoline
Karoline a 9 ans. Elle est en troisième année dans une classe
régulière. Elle a repris une année scolaire. On pense
à un classement en classe spécialisée pour elle l'année
suivante. Nous sommes au mois de janvier. Le détail de l'évaluation
de Karoline est publié (DeBlois, 1997). Rappelons seulement que
ses habiletés de comptage sont rudimentaires. Sa compréhension
de l'écriture des nombres pose problème. Son enseignante
souligne sa difficulté à résoudre des problèmes
en classe, difficulté qui est présente depuis qu'elle est
en première année. Elle a plutôt l'habitude de «mettre
ensemble» les nombres d'un problème. Comme prévu,
les premières rencontres ont porté sur des situations d'ajout
et de retrait, de réunion et de complément. Nous avons ensuite
proposé les situations de comparaison.
SITUATION 1
Tu as 24 autocollants. Ton ami a 8 autocollants. Combien d'autocollants
as-tu de plus que ton ami?
Karoline trouve d'abord 32 comme résultat. La représentation
mentale initiale porte sur les nombres vus comme les représentants
d'une quantité. Toutefois, à ce moment, la procédure
privilégiée est la réunion. En effet, elle explique:
«Je vais faire 24 plus 8». Elle ajoute: «Cela fera 32
autocollants». Un questionnement au sujet de l'ensemble le plus
grand permet à Karoline d'intégrer la relation entre les
données, à cette représentation mentale. Karoline
utilise ensuite une nouvelle procédure: la correspondance terme
à terme. La réflexion élaborée porte sur la
notion de différence. Elle explique: «Parce que j'ai 24 autocollants,
puis pour qu'ils soient presque égaux, j'en ai fait 8 à
8»... «Puis après j'ai dit combien d'autocollants as-tu
de plus que ton ami. J'ai dit 16». La reconnaissance d'une différence
amène une procédure de dénombrement, ce qui permet
de trouver une solution juste: 16.
Toutefois, ce résultat est assimilé à un retrait.
En effet, elle reconnaît les 16 autocollants qui restent, mais elle
éprouve soudainement de la difficulté à s'exprimer.
Elle raconte que les 16 autocollants sont ceux qu'elle garde, puis qu'elle
a fait ça (enlever) pour savoir ce qui est égal. C'est la
répétition de la question de départ, qui permet à
Karoline de dire qu'elle a trouvé les 16 qu'elle a de plus que
son ami. Toutefois, elle émettra à nouveau des doutes quant
au retrait («elle [la petite fille] voulait peut-être pas
les donner»).
Une deuxième réflexion surgit au sujet du type de différence.
Elle joue avec les expressions «de plus» et «de moins»,
ce qui implique une capacité à changer de perspective. Cette
flexibilité de la pensée est issue d'un retour vers une
illustration de la situation et du dénombrement des éléments
en plus. L'explication qui résume l'ensemble de sa démarche
demeure confuse, toutefois, elle réutilise ces connaissances pour
résoudre une situation semblable où les nombres 15 et 9
ont été utilisés.
La correspondance terme à terme suscite donc, comme nous nous y
attendions, la résolution du problème. Lorsqu'elle doit
expliquer pourquoi elle a utilisé cette procédure, on voit
apparaître, une confusion entre les situations de retrait et de
comparaison et entre la relation de plus et de moins. L'influence des
situations plus familières de retrait est donc importante.
SITUATION 2
Tu cueilles 14 fleurs pour faire un bouquet. Ta voisine cueille 8 fleurs.
Combien ta voisine a-t-elle cueilli de fleurs de moins que toi?
Cette deuxième situation de comparaison, où on cherche une
différence en utilisant le mot «de moins», amène
Karoline à illustrer la situation par deux ensembles. Elle trouve
6 comme résultat. Les représentations mentales initiales
portent maintenant à la fois sur les quantités et la relation
de comparaison, auxquelles Karoline coordonne d'abord une procédure
de correspondance terme à terme, puis un dénombrement. En
effet, elle forme un ensemble de 14 bâtonnets, puis un ensemble
de 8 bâtonnets. Elle dénombre alors 8 des 14 bâtonnets
de son ensemble et retrouve facilement les 6 fleurs que sa voisine a cueillies
en moins. La réflexion qui surgit de cette coordination porte sur
le sens du résultat obtenu. Cette réflexion est d'abord
assimilée au reste avant d'être vue comme une différence.
L'écriture de la phrase mathématique ne semble pas poser
de problème. L'orthopédagogue lui propose une situation
où les nombres sont plus grands: 35 et 26. Karoline explique qu'en
comparant les deux ensembles, elle retrouve ce qu'il y a de plus ou de
moins. Cela nous laisse croire à un développement de sa
compréhension.
Il est à noter que l'opération de soustraction est peut-être
plus facile à coordonner avec l'expression de la relation de moins.
Notons cependant, qu'il peut y avoir ensuite une compréhension
erronée lorsque l'expression «de plus» sera employée.
La discussion qui a suivi nous a d'ailleurs informé à ce
sujet.
SITUATION 3
Tu as 42 cartes de hockey. Ton ami a 12 cartes de hockey de plus que toi.
Combien ton ami a-t-il de cartes de hockey?
Devant cette troisième situation de comparaison, Karoline n'utilise
pas de matériel. Elle écrit immédiatement la phrase
mathématique. La représentation mentale initiale semble
porter sur la relation «de plus». Elle s'y attarde. La procédure
utilisée est l'algorithme traditionnel de l'addition. Elle écrit
42+12=54 en expliquant que si son ami a 12 de plus, elle doit faire un
plus. Cette coordination n'a pas été questionnée,
ce qui ne nous permet pas d'apprécier la réflexion qui a
pu naître. Le type de recherche impliquée ne semble pas lui
poser de problème. L'expression «de plus» semble induire
l'opération à utiliser.
SITUATION 4
Tu as 54 autos dans ta boîte à jouets. Ta voisine a 42 autos
de moins que toi. Combien ta voisine a-t-elle d'autos dans sa boîte
à jouets?
Cette situation amène immédiatement Karoline à réaliser
une soustraction. La représentation mentale initiale porte sur
les nombres et sur la relation «de moins». En effet, elle
raconte qu'elle a 54 autos et que son amie a 42 autos, puis 42 de moins
qu'elle. Elle y coordonne une procédure de soustraction selon l'algorithme
traditionnel. Elle écrit 54-42=12 autos. La réflexion qui
émerge de la coordination, entre ces représentations mentales
et l'opération de soustraction, porte sur le sens du résultat
obtenu. Karoline assimile le résultat à une différence,
ce qui correspond aux situations précédentes. Elle éprouve
beaucoup de difficulté à concevoir que le résultat
obtenu correspond à l'ensemble comparé. Ainsi, la solution
est correcte, mais la réflexion sur l'interprétation du
résultat est à construire. Karoline est donc en mesure
de réussir, mais sa compréhension de la situation et du
résultat est encore rudimentaire.
SITUATION 5
Tu as 14 billes. Tu as 5 billes de plus que ton ami. Combien de billes
ton ami a-t-il?
Cette cinquième situation, où on cherche l'ensemble de référence
avec l'opération de soustraction, implique une formulation inconsistante.
Karoline croit que son ami a 5 billes. La représentation mentale
initiale est donc masquée par la formulation de la relation. En
effet, la relation exprimée est d'abord assimilée au cardinal
du deuxième ensemble, ce qui correspond aux premières situations
de comparaison. Un retour au nombre 14, représentés par
un ensemble d'élément, invite à une procédure
de prélèvement. Cette procédure la confond. Elle
ne sait pas exprimer son résultat. C'est par un retour à
une illustration de deux ensembles de 14 que Karoline observe qu'elle
«a mis [les ensembles] égaux». De cette coordination
surgit une comparaison, puis une soustraction. Elle peut montrer les 5
billes qu'elle a de plus. Elle écrit 14-5=9, puis justifie la relation
«de plus» en utilisant la relation «de moins».
Le jeu de relation entre les expressions de plus et de moins lui permet
une réflexion où intervient un changement de perspective.
Son ami a 5 billes de moins qu'elle, parce qu'elle en a 5 de plus, explique-t-elle.
Sa justification est claire, ce qui est nouveau. Elle exprime une capacité
à changer de perspective et ainsi une flexibilité de sa
pensée.
SITUATION 6
Tu as 8 crayons de couleurs. Tu as 5 crayons de couleurs de moins que
ton professeur. Combien de crayons a ton professeur?
Karoline croit que son professeur a 5 crayons. Le jeu de relations entre
les expressions «de plus et de moins» devient ici une réflexion
sur laquelle doit s'élaborer une nouvelle procédure pour
résoudre ce type de situation. La représentation mentale
initiale assimile la relation «5 de moins» au cardinal du
deuxième ensemble. Elle explique qu'elle a 8 crayons, son professeur
en a 5. La difficulté semble provenir du fait qu'elle doit à
la fois s'appuyer sur une interprétation souple de l'expression
utilisée et ajouter des éléments à un des
ensembles. En effet, cet ajout d'objets ne vient d'aucun des deux ensembles
connus. En utilisant la relation «de plus», l'orthopédagogue
lui permet de résoudre le problème. Karoline reconnaît
d'abord qu'elle a «3 de plus», puis que son professeur a «plus
de crayons», mais elle ne change pas tout de suite son illustration.
Elle montre toujours les 5 crayons de son professeur. Elle construit une
nouvelle réflexion au moment où elle doit décider
ce qu'il faut faire pour que son professeur en ait un, deux... de plus
ainsi de suite. L'explication demeurera confuse, mais l'écriture
de la phrase mathématique est correcte. Karoline écrit ensuite
8-5=3.
Étude de cas de Karine
Karine est en troisième année. Elle démontre des
habiletés dans le comptage par 1, par bonds ou à rebours,
malgré ses erreurs occasionnelles. En effet, il lui arrive de sauter
des nombres. Elle lit et écrit des nombres sans problème.
Elle illustre les nombres et reconnaît l'invariance de la quantité
par rapport à la disposition. Elle peut représenter les
nombres de différentes façons. Elle éprouve toutefois
des difficultés à résoudre des problèmes qui
impliquent l'addition et la soustraction, plus particulièrement
dans les cas où apparaissent des termes manquants. Les entrevues
ont lieu entre les mois de janvier et de mai.
SITUATION 1
Tu décides d'aller te chercher 33 autocollants. Toi, tu en as 33
et ton ami en a 17. Montre-moi les autocollants que tu as en plus. Qu'est-ce
que tu peux faire pour me montrer les autocollants que toi tu as de plus?
Cette situation a été présentée en deux étapes.
Une première qui s'arrête à l'illustration des deux
ensembles, une deuxième, où on pose la question au sujet
de la différence. Cela amène Karine à se concentrer
sur les nombres 33 et 17. Ce n'est que par la suite qu'on attire son attention
sur la relation entre les nombres. Ainsi, inévitablement, sa représentation
mentale initiale porte sur les nombres. Ces derniers représentent
bien des quantités. Des arrêts fréquents, causés
par une difficulté dans ses habiletés de comptage, interviennent.
En effet, elle compte 2, 4, 6, 8, 10, 12, 13, sans se rendre compte de
la modification apportée à la régularité du
comptage par deux.
En comparant ensuite les nombres 17 et 33, Karine est incapable de jouer
avec la relation «de plus». On propose des nombres plus petits.
La comparaison entre la «grandeur» des nombres, déjà
utilisée, mène vers une comparaison de la «longueur»
des rangées, ce qui est curieux compte tenu de sa compréhension
de l'invariance du nombre par rapport à la disposition des éléments.
Elle échoue, donc, dans un premier temps, à établir
une correspondance terme à terme.
On tente de susciter une nouvelle représentation mentale, sur la
relation entre les ensembles, en l'invitant à comparer qualitativement
les deux ensembles pour retrouver le plus grand. Karine retranche alors
7 jetons de l'ensemble de 13 et trouve les 6 jetons. À partir
de cette procédure, elle trouve une solution satisfaisante. Toutefois,
aucune réflexion sur la notion de différence n'émerge.
SITUATION 2
Maintenant, j'vais te demander de prendre 14 fleurs pour toi et ton frère
lui, il va en avoir 8. Combien ton frère en a cueilli de moins
que toi?
À nouveau, on ne pose pas immédiatement le problème
de recherche de la différence. La présentation de cette
situation se réalise donc en deux étapes. Karine fait un
ensemble de 14 et un autre de 8. Elle sépare 8 jetons parmi les
14 du premier ensemble, pour trouver 6. Ainsi, sa représentation
mentale initiale porte sur les nombres. Ceux-ci sont illustrés
par des jetons, ce qui est la manifestation d'une compréhension
du nombre comme étant le représentant d'une quantité.
La correspondance terme à terme est établie. La réflexion
de Karine porte ensuite sur l'association entre un ensemble et un des
acteurs de la situation, sans pour autant porter sur la notion de «différence»
entre la quantité de fleurs de son frère et la sienne.
«Parce que, ben mon frère en a cueilli huit... J'n'ai cueilli
quatorze pis j'n'ai perdu huit fleurs... J'les ai données... À
ma mère... Pis, y m'restait six fleurs». Elle termine
en disant: «J'viens tout mélangé».
Sans une réflexion sur la différence, le résultat
obtenu demeure assimilé à une situation de retrait, ce qui
pourrait expliquer la difficulté à dénombrer ce qu'il
y a «en plus». La relation «de plus» ne peut servir
d'appui à la construction de la relation «de moins».
Pour Karine, les 6 fleurs cueillies en plus ne correspondent pas aux 6
fleurs cueillies en moins de son frère. En effet, les 6 fleurs
cueillies en moins «sont invisibles», dit-elle. Sans la relation
«de plus», cet «invisible», cette négation,
comme dirait Piaget (1978) ne s'élabore pas.
Nous pourrions, d'autre part, poser l'hypothèse de l'influence
de l'aspect affectif. En effet, Karine a-t-elle l'habitude de partager
également avec son frère? Cela pourrait-il influencer sa
compréhension de cette situation? La poursuite des entrevues nous
permettra, peut-être, de répondre à ces questions...
SITUATION 3
Tu as 28 cartes de hockey. Ton cousin a 5 cartes de hockey de plus que
toi. Combien ton cousin a de cartes de hockey? Avant de tout commencer,
d'après toi, qui a le plus de cartes de hockey?
Karine trouve 34. La représentation mentale initiale semble s'appuyer
sur les nombres et la relation «de plus» et ce, malgré
le problème de dénombrement. La procédure de dénombrement
(2, 4, 6, ... 30, 32, 34) et ses habiletés de calcul mental semblent
la source de l'erreur observée (28+5=34 et 28+6=44). En effet,
Karine ne modifie pas la régularité du comptage par deux
et termine avec le nombre 34. D'autre part, il est possible que, sachant
que le résultat doit donner 4 à la position des unités,
l'écriture de la phrase mathématique l'amène à
ajouter 6 plutôt que 5.
À la suite de ces erreurs, Karine pose pour la première
fois une réflexion sur la relation entre «de plus»
et «de moins». En effet, elle affirme qu'elle a 6 cartes de
moins que son cousin, ce qui correspond à un changement de perspective.
Si cette réflexion sur le type de relation avait eu lieu avant,
aurait-elle commencé son dénombrement à 2 ou à
28? L'influence de ses erreurs occasionnelles de dénombrement
et de ses connaissances sur le calcul mental semblent avoir une influence
plus grande que le croyions dans l'élaboration d'une solution et
d'une compréhension de la situation de comparaison.
SITUATION 4
Tu as 25 autos dans ta boîte à jouets. Ta soeur a 8 autos
de moins que toi. On veut savoir combien ta soeur a d'autos dans sa boîte
à jouets. Alors, qui a le plus d'autos?
Karine reconnaît qu'elle a plus d'autos. Elle forme un ensemble
de 25 jetons sur la table, puis un deuxième de 8 jetons. Karine
sépare l'ensemble de 25 en deux sous-ensembles, l'un de 8 et l'autre
de 17. Elle ne sait pas comment exprimer son résultat. Les représentations
mentales initiales portent sur les nombres, vus comme les représentants
d'une quantité. Dans un premier temps, la relation en jeu est assimilée
au cardinal du deuxième ensemble. C'est le prélèvement
de 8 jetons sur l'ensemble de 25 qui permet de trouver une solution au
problème. Toutefois, cette procédure ne permet pas d'introduire
la correspondance terme à terme, pour réfléchir sur
la différence entre les deux ensembles et asseoir les expressions
«de plus et de moins». L'expression «de moins»
demeure assimilée à une situation de retrait, ce qui limite
l'élaboration d'une nouvelle réflexion.
En proposant le nombre 4 et la relation 3 de moins, Karine assimile toujours
l'expression «3 de moins» au cardinal du deuxième ensemble.
Une réflexion sur l'écart entre l'état et le type
de relation semble susciter une compréhension de la relation «de
plus», puis une compréhension de la relation «de moins».
L'orthopédagogue demande: Enlève-moi des jetons pour
que toi tu en aies «3 de plus» que moi. La manipulation
est laborieuse, mais Karine arrive à reconnaître que l'orthopédagogue
a 3 jetons en moins et que simultanément, elle a 1 jeton.
SITUATION 5
Tu as 14 billes. Tu as 5 de plus que ton ami. Combien de billes a ton
ami?
Karine trouve 9, mais ne peut interpréter ce résultat. La
représentation mentale initiale s'appuie sur le nombre 14 et la
relation qualitative «de plus». Karine reprend la procédure
de prélèvement et compte les 5 jetons qui restent. «...
j'ai compté là. J'ai commencé ici. Une, deux, trois,
quatre, cinq. Ça faisait cinq. C'est ceux-là. Pis, je n'ai
enlevé les autres, pis ça faisait neuf». Karine pose
ensuite une réflexion sur l'expression «de plus». Un
jeu de déplacement des 5 jetons de plus, d'un ensemble vers l'autre,
semble lui permettre de changer de perspective. En effet, à la
suite de ce transfert d'un ensemble à l'autre de 5 jetons, elle
reconnaît que si elle a 5 de plus, cela implique que son ami a 5
de moins.
SITUATION 6
Tu as 8 crayons de couleur. Tu en as cinq de moins que ton professeur.
Peux-tu me trouver combien ton professeur a de crayons?
La préoccupation de Karine, lorsqu'elle vérifie les nombres
et les relations en jeu, laisse croire que sa représentation mentale
s'appuie tant sur les nombres que sur la relation en jeu. Elle établit
une correspondance terme terme, ce qui lui permet de montrer ensuite ce
qu'elle a en moins. Même si la relation «de plus et de moins»
est amenée, on se rend compte qu'elle ne s'appuie pas sur une coordination
entre représentation mentale et procédure. Elle semble s'appuyer
plutôt sur la notion de contraire. En utilisant la relation de plus,
l'orthopédagogue induit l'opération à utiliser pour
représenter ce qui a été manipulé. Karine
écrit 8+5=13. Pour montrer ce qu'elle a. Elle écrit ensuite
13-5=8.
Étude de cas de Marijo
L'entrevue d'évaluation a permis de voir apparaître des difficultés
dans les habiletés de comptage. En effet, Marijo ne peut réciter
les nombres plus grands que 38. Elle éprouve de la difficulté
à écrire des nombres. Enfin, le plus souvent, elle met ensemble
les nombres d'un problème donné, sans égard aux relations
présentes. Nous avons présenté uniquement les 4 premières
situations à Marijo.
SITUATION 1
Tu as 13 autocollants. Ton ami Maxime en a 7. Combien d'autocollants as-tu
de plus que Maxime?
Marijo s'exclame aussitôt: 13. La représentation mentale
initiale de Marijo s'appuie sur les nombres, vus comme les représentants
de quantité. Toutefois, c'est au moment où Marijo illustre
les deux ensembles qu'une nouvelle compréhension surgit. En effet,
cette illustration l'amène à comparer la quantité
de jetons, qui est la même dans les deux ensembles, puis à
dénombrer ce qui reste. Elle semble alors élaborer une réflexion
au sujet de la relation «de plus», réflexion issue
d'une coordination entre l'illustration des ensembles et sa procédure
de comparaison terme à terme. Afin d'écrire ce qu'elle vient
de faire, elle écrit le nombre 13, puis le nombre 7. On la sollicite
à inscrire un «signe» entre les deux nombres. Elle
inscrit - entre les nombres.
SITUATION 2
Tu cueilles 14 fleurs. Ton frère a cueilli 8 fleurs. Combien ton
frère a cueilli de fleurs de moins que toi?
Marijo répond immédiatement: 8. La représentation
mentale initiale porte sur les nombres. Chacun de ces nombres est vu comme
le cardinal d'un ensemble. C'est l'illustration, qui est sollicitée
par le dessin, qui permet à Marijo de se préoccuper de la
relation entre les ensembles. Un rappel des procédures déjà
utilisée l'amène à comparer 8 éléments
des deux ensembles. Sans que la réflexion au sujet de la «différence»
ne soit explicite, on peut observer son apport puisque c'est à
partir de ce moment que Marijo dénombre le reste. Marijo identifie
la quantité de fleurs de chacun, sans faire intervenir la relation.
Elle écrit ensuite 14-6=8.
SITUATION 3
Tu as 18 cartes de hockey. Ton cousin a 5 cartes de plus que toi. Combien
de cartes de hockey ton cousin a-t-il?
Il est intéressant de constater que Marijo prend conscience de
la différence entre les situations déjà proposées
et celle-ci. Elle s'exclame: «Mais là, ne ne sait pas combien
il en avait». En effet, c'est la première fois que la relation
de comparaison ne s'appuie pas sur le cardinal de chacun des ensembles.
En s'appuyant sur une représentation mentale du nombre et de la
relation en jeu, elle utilise une procédure de dénombrement
et trouve une solution satisfaisante. La réflexion semble porter
sur la relation, puisqu'elle nous dit que son cousin a «23 de plus».
Un retour sur la coordination réalisée paraît suffisante
pour ajuster cette réflexion à la situation (le nombre 23
correspond à la quantité de son cousin). Marijo écrit
ensuite 18+5=23, qu'elle vérifie en récitant les nombres
de 18 à 23.
SITUATION 4
Tu as 15 autos dans ta boîte à jouets. Ton frère a
8 autos de moins que toi. Combien ton frère a-t-il d'autos?
La représentation mentale initiale porte sur les nombres. Ces derniers
représentent bien des quantités. La relation n'intervient
qu'à la suite d'une relecture. La compréhension intuitive,
selon laquelle elle a plus d'autos, permet de voir apparaître des
procédures de dénombrement. Toutefois, le prélèvement
de 8 parmi 15 crée une confusion avec une situation de retrait.
En enlevant 8 jetons de l'ensemble de 15, elle a 7 autos et son frère
en a 8. Aucune nouvelle réflexion n'émerge du dénombrement
de ce que les deux enfants ont «de pareil». Il semble qu'il
soit nécessaire, pour Marijo, d'être familière avec
l'expression «de plus» pour travailler avec la relation de
moins, ce qui n'est pas le cas. Elle écrit ensuite 15-8=7.
Discussion
Comment s'élabore la compréhension des élèves
rencontrées
Durant toutes les situations, les représentations mentales initiales
des enfants se sont appuyées sur le nombre, vu comme le représentant
d'une quantité. En effet, à aucun moment, les enfants n'ont
traité ces nombres comme des objets physiques à mettre ensemble,
ce que les évaluations initiales avaient mis en lumière.
Il est vrai qu'elles ont, à ce moment, une certaine expérience
de ces situations. En effet, des situations d'ajout et de retrait, de
réunion et de complément ont précédé.
Nous constatons l'importance de la prise en compte de la relation «de
plus ou de moins» à l'intérieur des représentations
mentales initiales.
Au moment où on attire l'attention des enfants vers une évaluation
qualitative des ensembles, de nouvelles procédures émergent.
Ce contact, avec une compréhension qualitative (qui a le plus?)
appelée intuitive par Herscovics et Bergeron (1989), initie l'établissement
d'une correspondance terme à terme, une coordination que nous qualifierons
de structuration des connaissances généralisables à
d'autres situations. En identifiant l'ensemble le plus grand, sans pour
autant savoir «de combien», les élèves prennent
conscience, implicitement ou explicitement, d'une différence entre
les ensembles. La prise de conscience de cette différence les amène
à dénombrer ce qui reste. Une nouvelle coordination entre
la notion de différence et le dénombrement de ce qui reste
suscite une nouvelle structuration généralisable. Par exemple,
Karoline reconnaît l'implication de la relation amenée par
l'expression «de plus». Ces résultats confirment ceux
de Stern (1993) pour qui le changement de perspective amené par
cette implication, est nécessaire pour résoudre le dernier
problème.
Les difficultés rencontrées par ces élèves
Ce type de situation statique semble être fortement influencé
par les situations dynamiques qui sont plus familières aux élèves.
En effet, des confusions apparaissent, certaines entre les expressions
et les procédures impliquées dans les situations dynamiques.
Ainsi, interpréter les nombres, comme étant tantôt
le cardinal d'un ensemble tantôt la relation en jeu, pose problème.
De plus, l'identification des éléments, qui sont en plus,
et le prélèvement crée un glissement de sens. Ce
glissement amène ensuite une difficulté à constater
que reconnaître une différence entre des ensembles ne signifie
pas enlever, donner ou prêter. L'interprétation à
donner au résultat obtenu (reste ou différence, reste ou
cardinal d'un des ensembles) est importante à préciser.
Sans un questionnement sur la nature du résultat obtenu, le problème
peut être résolu, mais n'est pas pour autant compris.
Une structuration particulière entre des connaissances est apparue.
Même si la représentation mentale initiale porte sur les
nombres, vus comme les représentants d'une quantité, une
comparaison entre «la grandeur» des nombres amène à
comparer «la longueur» de deux ensembles. Nous appellerons
ce type de coordination entre nombres et procédures, structuration
partielle des connaissances. En effet, cette comparaison, issue essentiellement
des procédures de séparation et de prélèvement,
permet de résoudre le problème sans nécessairement
réfléchir sur la relation en jeu. Le prélèvement
des éléments qui sont «en plus» semble aussi
provoquer un glissement de sens. Nous pourrions donc conclure que, dans
le cas de problèmes de comparaison, l'absence d'un des ensembles
à comparer peut nuire au développement d'une compréhension,
sans pour autant empêcher la résolution du problème
posé.
Enfin, il est à noter que certaines manipulations semblent permettre
de développer une compréhension «langagière»
des expressions utilisées. Une telle compréhension ne signifie
pas, toutefois, qu'il s'agit d'une compréhension logique.
Les types de situation de comparaison
Nous pouvons observer que, dans le cas où on demande de trouver
la différence entre deux ensembles, les élèves doivent
apprendre à interpréter le résultat comme une relation
et non comme un état. Dans le cas, où on cherche l'ensemble
comparé, il ne semble plus y avoir de difficulté. Le problème
est résolu facilement. Toutefois, nous constatons que les enfants
associent l'expression utilisée et l'opération arithmétique,
sans nécessairement comprendre la relation en jeu. La difficulté
particulière de ce type de situation redevient l'interprétation
du résultat. En effet, ce résultat correspond maintenant
au cardinal d'un des deux ensembles. Enfin, dans le dernier cas, on cherche
l'ensemble de référence. Ici, il est nécessaire que
les élèves aient développé une flexibilité
de leur pensée leur permettant de changer de perspective au besoin.
Nous pourrions aussi croire que ce type de situation crée la nécessité
de réfléchir sur ce changement de perspective.
Apport de ce type d'accompagnement
Cette étude montre que la démarche d'apprentissage de ces
élèves, se réalise grâce aux mêmes intuitions,
aux mêmes procédures et aux mêmes réflexions
que celles utilisées par un élève régulier.
Toutefois, l'élève en difficulté a besoin d'un accompagnement
particulier, puisque même en présence de cet accompagnement,
des glissements surgissent sur l'interprétation des nombres, des
procédures et du résultat obtenu. L'accompagnement offert
exige donc une vigilance de la part de l'intervenante afin de laisser
le temps à l'élève de s'approprier la situation,
de le laisser expérimenter ses premières intuitions et de
faire un choix judicieux des pistes à donner. À cet effet,
nous retenons l'importance de susciter la construction de réflexions
sur la notion de différence et sur l'implication d'une relation
sur l'autre.
Les limites de ce type d'intervention
À la lecture de ces interventions, on pourrait croire que la charge
de la réflexion repose strictement sur l'adulte alors que l'enfant
tente de répondre correctement aux questions posées. Il
est possible que ce modèle d'intervention, nouveau pour les orthopédagogues
qui l'ont expérimenté, puisse provoquer cette lecture. Toutefois,
nos expériences d'interventions auprès de ces élèves
nous montrent que, trop souvent, ces élèves cherchent à
résoudre un problème, sans savoir qu'il est possible de
comprendre ce qui se passe. Dans les cas où des réussites
apparaissent, elles s'exclament qu'elles ont eu de la chance ou que c'était
facile. Il nous apparaît donc normal que, dans un premier temps,
la réflexion soit suscitée par l'adulte. Toutefois, il faut
apprendre à distinguer les interventions qui initient une réflexion
de celles qui supportent une réflexion. L'accompagnement doit donc
chercher à susciter une appropriation du problème, ce que
nous voyons apparaître lors des dernières entrevues. En effet,
les élèves prennent un temps pour s'approprier les données
de la situation proposée.
Conclusion
Cette étude a permis de mieux connaître les représentations
mentales qui initient les procédures qui apparaissent pour résoudre
ce type de problèmes. L'analyse réalisée devient
une réflexion sur le processus d'apprentissage. De cette réflexion,
nous pouvons dégager l'importance des représentations que
les élèves évoquent au contact d'un problème.
Ces dernières orientent les procédures et l'interprétation
du résultat obtenu. Le type d'intervention proposé a permis
d'étudier l'élaboration de leur compréhension, donc
de leur progression. Nous constatons qu'il semble plus de difficile de
choisir l'opération que d'utiliser des procédures qui permettent
de résoudre les problèmes posés. C'est ce qui expliquerait
la difficulté à écrire la phrase mathématique
qui correspond à la résolution du problème. Toutefois,
de nouvelles questions émergent. La perspective constructiviste
nous invite, entre autres, à questionner l'élève
afin de l'amener à reconstruire, pour lui-même, la compréhension
des relations en jeu dans un problème donné. À long
terme, ce type d'intervention expérimenté ici peut-il susciter
une réflexion autonome chez l'élève? Quelle la distance
doit-on respecter, entre la situation et le soutien à offrir, pour
susciter cette autonomie?
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Auteur: Lucie DEBLOIS
Professeure en didactique des mathématiques
Département didactique, psychopédagogie et technologie éducative
Faculté des Sciences de l'éducation
Université Laval, Ste-Foy (Québec) G1K 7P4
Courriel: lucie.deblois@fse.ulaval.ca
Source: http://www.acelf.ca/revue/XXV1/articles/rxxv1-08.html#SEC20
L'apprentissage et l'enseignement des sciences et des mathématiques
dans une perspective constructiviste, Volume XXV No 1, printemps-été
1997.
Courriel: revue@acelf.ca URL: http://www.acelf.ca/revue/
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