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Les décimaux
à la charnière
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| A quoi servent les nombres décimaux
? La première réponse qui vient à l'esprit est: "les décimaux servent à exprimer des mesures" et les exemples sont nombreux dans la vie quotidienne: prix, longueurs, masses, etc... Sont-ils irremplaçables pour cet usage? Compte tenu de la précision des instruments de mesure, dans une pratique usuelle, toute mesure peut s'exprimer par un naturel : • 57,82 F c'est aussi 5 782 centimes, • 3,154 m c'est aussi 3 154 mm, • 0,009 mm c'est également 9 microns, • 1,8 enfants en moyenne par famille c'est aussi 18 enfants en moyenne pour 10 familles, • etc... Cela n'implique pas que l'on doive abandonner l'étude des décimaux car ils permettent, entre autres, de ramener les nombres utilisés dans un intervalle d'étude familier en évitant les grands nombres et les problèmes de lecture ou de calcul qui peuvent s'y rapporter. En quoi sont-ils irremplaçables ? Les nombres décimaux permettent de résoudre un grand nombre de problèmes, en particulier sur les mesures, qui n'avaient pas de solution avec les nombres entiers. Dans le cas où il n'y a pas de solution exacte, il est possible de trouver des solutions approchées avec la précision souhaitée et ce quelle que soit cette précision. Les nombres rationnels ont aussi cette propriété et, historiquement, ils ont été les premiers utilisés. De plus le quotient de deux rationnels est encore un rationnel alors que le quotient de deux décimaux est rarement un décimal. Mais ceci n'est qu'un inconvénient mineur car le quotient de deux décimaux, s'il n'est pas décimal, peut être approché d'aussi près que l'on veut par des nombres décimaux. Par contre les nombres décimaux ont un gros avantage : puisque les fractions décimales ont pour dénominateurs des puissances de 10 et que notre système de numération est à base 10, les calculs peuvent se ramener à des calculs sur les entiers en tenant compte de l'ordre de grandeur. La facilité de calcul sur les nombres décimaux a été à l'origine de la création d'un système d'unités de mesures approprié : le système métrique. Les décimaux : erreurs et représentations des élèves Le décimal est perçu comme un entier qui n'est pas détachable de l'unité. - il n'y a pas de décimal entre 2,46 et 2,47 - 3,6 est différent de 3,60 - 5,64 est le successeur de 5,63 Le décimal est perçu comme la juxtaposition de deux entiers. -7,21 > 7,4 car 21 est plus grand que 4 -2,6 x 3,4 = 6,24 ou 15,7 + 12,6 = 27,13 Règles erronées implicites pour la comparaison des décimaux Les difficultés liées à la comparaison des nombres décimaux ne portent guère sur les parties entières, problème qui est pratiquement résolu à l'entrée en sixième. Une étude menée par Catherine GRISVARD et François LEONARD, du laboratoire de psychologie expérimentale de l'Université de Nice, a montré que 40% des élèves de quatrième ne savaient pas ordonner des nombres décimaux positifs. Les erreurs commises n'étaient ni accidentelles ni effets du hasard mais systématiques et apparaissaient lorsque les comparaisons devenaient complexes. Trois règles erronées qui fournissent cependant souvent la bonne réponse ont été mises en évidence à propos de la comparaison de nombres décimaux ayant la même partie entière.
Les trois règles amènent comme réponses : règle 1 : 4,3 < 4,06 < 4,249 règle 2 : 4,249 < 4,06 < 4,3 règle 3 : 4,06 < 4,3 < 4,249 Il faut remarquer que ces règles fournissent souvent la bonne réponse dans le cas de deux nombres. • La règle 1 donne la bonne réponse quand les parties décimales ont la même longueur. • Lorsque les règles 1 et 2 sont susceptibles d'être appliquées, elles sont contradictoires et l'une d'elles donne la bonne réponse. • Lorsque l'une de ces deux règles ne peut être appliquée, celle qui s'applique donne toujours la bonne réponse. • La règle 3 donne toujours la bonne réponse lorsqu'elle est applicable. Les élèves sont généralement capables de résoudre un problème portant sur la comparaison de deux nombres et commettent des erreurs lorsque la tâche porte sur des séries plus longues. Il semble donc important d'identifier les bonnes réponses correspondant à l'application de règles fausses afin de pouvoir agir sur la cause et construire les situations didactiques appropriées. Les auteurs de l'étude proposent une épreuve permettant de mettre en évidence des modes de fonctionnement conduisant à des raisonnements erronés. Il s'agit d'ordonner par ordre croissant cinq listes de nombres. • un couple (deux décimaux de même partie entière) • un triplet (trois décimaux de même partie entière) • un quintuplet (cinq décimaux de même partie entière) • une liste de cinq nombres composée d'un couple mêlé à un triplet • une liste de dix nombres composée de : un couple, un triplet, un quintuplet. Auteur: Marcel Royant: MAFPEN Rennes |
