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Au-dela de la simple
solution des problemes
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| Les Normes sur les programmes d'enseignement
et l'évaluation des mathématiques à l'école
(NCTM 1989) stipulent que l'un des cinq objectifs généraux
visés est d'amener tous les élèves à résoudre
des problèmes de mathématiques. Elles recommandent que «pour
développer ces aptitudes, les élèves doivent s'exercer
à résoudre des problèmes dont la recherche de solutions
peut prendre des heures, des jours et même des semaines» (page
6 de la version anglaise). Il est clair que les auteurs de ces normes n'ont
pas eu à enseigner mes étudiants ! Face à un problème
mathématique, mes étudiants pensaient que la solution était
facile simplement parce que le problème avait été proposé
dans le cadre d'un cours de mathématiques. Ils «savaient»
également que pour de nombreux problèmes, la technique ou
le processus de recherche d'une solution consistait à appliquer une
méthode ou procédure récemment enseignée en
classe. L'objectif visé par la plupart de mes étudiants était
simplement de trouver une réponse. S'ils parvenaient en fin de compte
à trouver la bonne réponse, tant mieux ; sinon, ils savaient
que c'était «mon travail» de leur indiquer la méthodologie
«appropriée» à appliquer pour résoudre
le problème. J'ai commencé à me rendre compte de l'existence d'un contrat tacite entre mes étudiants et moi, contrat en vertu duquel lorsqu'ils éprouvaient des difficultés à résoudre un problème de mathématiques, je venais à leur secours. Tout d'abord, je les encourageais à se rappeler ce que nous venions d'apprendre ou je leur conseillais de relire le problème. Si ces suggestions n'amenaient pas l'étudiant ou le groupe d'étudiants à trouver la réponse, je donnais quelques indications spécifiques pouvant leur permettre de trouver la réponse. Par exemple, je pouvais leur dire : «utilisez un tableau pour organiser vos données et regardez les tendances qui se dégagent». Je pouvais aussi poser des questions spécifiques pouvant, à mon avis, conduire directement à la solution du problème. Quand aucune de ces stratégies pédagogiques ne permettait aux étudiants de trouver la bonne réponse, je montrais à toute la classe au tableau comment résoudre le problème. Je ne me rappelle pas avoir mis plus de quinze minutes environ pour résoudre un problème proposé à mes étudiants. Imaginez donc ma gêne et ma confusion lorsque j'ai lu pour la première fois les Normes sur les programmes d'enseignement et l'évaluation des mathématiques, indiquant qu'il était nécessaire de consacrer des heures, des jours et même des semaines à la solution d'un seul problème. J'ai essayé de penser aux problèmes de mathématiques que je pouvais donner à résoudre à mes étudiants pour qu'ils puissent mettre des heures à réfléchir là-dessus, mais je n'ai pu malheureusement en trouver aucun. J'ai donc commencé à lire des articles publiés dans des revues sur l'enseignement des mathématiques (L'enseignant d'arithmétique, Enseigner les mathématiques aux enfants, Enseignement des mathématiques au niveau intermédiaire et l'Enseignant de mathématiques) et à prendre part à des réunions professionnelles ou techniques organisées au niveau local sur la question, à la recherche de vues nouvelles sur la solution des problèmes. Au cours d'un exposé sur la solution de problèmes, la conférencière a indiqué qu'elle partagerait avec les participants un grand problème de mathématiques que l'on pouvait proposer à des élèves de tout âge. Elle a présenté par projecteur ce problème pour que tous les participants puissent le lire : «Un incendie s'est déclaré à l'Ecole d'Elmwood aujourd'hui». Après la lecture de ce «problème», j'étais déçu et confus. J'ai parcouru des yeux la salle et j'ai constaté que les autres participants discutaient entre eux du problème. J'ai fait part de ma déception et de ma confusion à mes voisins, et je me suis rendu compte que d'autres enseignants présents éprouvaient les mêmes sentiments. Mais c'est au cours de cet échange de vues que j'ai commencé à percevoir différemment la notion de solution des problèmes. Un participant a fait la déclaration suivante : «Il y a eu une explosion pendant une expérimentation scientifique, à la suite de quoi un incendie s'est déclaré». Un autre a déclaré : «C'est le soleil qui est la cause de l'incendie. Les rayons de soleil passant à travers une fenêtre de la salle de classe ont été magnifiés par un morceau de vitre posé sur un tas de vieux journaux». Dans son exposé, la conférencière a voulu nous aider à voir comment notre propre créativité, notre jugement et nos connaissances antérieures en mathématiques pouvaient contribuer à la recherche de solutions aux problèmes, afin de faciliter le développement d'un sens mathématique en chacun de nous. J'ai tiré de l'exposé quelques bonnes idées sur la manière d'aborder la question de la solution des problèmes en classe. J'ai aussi rassemblé quelques bons exemples de problèmes et j'ai pris la résolution de faire preuve de patience avec mes étudiants dans la recherche de solutions aux problèmes. Comme j'avais promis de le faire pendant les vacances d'été, j'ai décidé d'intégrer la solution des problèmes dans tous les volets du programme de mathématiques. Avec les problèmes rassemblés et à la suite de ma détermination réaffirmée dans le cadre de ma réflexion pendant les vacances d'été, j'ai commencé la nouvelle année académique en plaçant la solution des problèmes au centre de mes préoccupations. Ce qui s'est passé pendant le premier mois de cours était loin d'être encourageant. Au cours des premières semaines de cours, mes étudiants voulaient que je leur montre comment résoudre tous les problèmes. En outre, comme je ne leur donnais aucune indication ou stratégie sur la manière de résoudre les problèmes, ils estimaient que je ne faisais pas mon travail, et certains parents étaient du même avis ! J'ai pu me rendre compte que beaucoup de mes étudiants n'avaient pas d'expérience avérée en matière de solution des problèmes. Au fil des années, nous nous sommes efforcés, mes étudiants et moi-même, de maîtriser la solution des problèmes, et j'ai pu mettre au point quelques techniques et stratégies visant à renforcer les capacités des étudiants dans ce domaine. POUR COMMENCER, mon premier objectif était essentiellement d'aider mes étudiants à identifier les outils disponibles pour résoudre les problèmes de mathématiques posés. Je leur ai proposé une vaste gamme de problèmes pouvant nécessiter le recours à de multiples stratégies, expériences et moyens de calcul. A mesure que ces outils devenaient plus familiers aux étudiants, j'insistais sur la créativité et l'innovation dans la solution des problèmes de mathématiques. Au début des travaux pratiques dans ce domaine, j'ai constaté que certains étudiants étaient inquiets et frustrés, sans doute parce que je ne répondais pas à leurs attentes en leur montrant «comment résoudre les problèmes». Tout en les comprenant, j'ai essayé de leur faire changer d'attitude. Il me semble en effet difficile de créer un environnement propice à la solution des problèmes en classe sans faire changer au préalable les attitudes et les croyances des étudiants au sujet des mathématiques et de la solution des problèmes. Le changement d'attitude est devenu perceptible en classe quand j'ai démontré à mes étudiants que j'accordais une grande importance à la solution des problèmes et qu'il fallait de la patience et de la persévérance pour réussir à résoudre les problèmes. La proposition de bons problèmes contribue également à faire changer les croyances des étudiants au sujet de la solution des problèmes de mathématiques. Au début de l'année académique, je commence par proposer un problème facile à comprendre et pouvant être résolu de diverses manières. Nous avons appelé un de ces problèmes qui a suscité des discussions productives en classe «le problème du magasin de chaussures» : « Un monsieur entre dans un magasin de chaussures et achète une paire de chaussures à 5 dollars en présentant un faux billet de 20 dollars, sans que le propriétaire du magasin se rende compte qu'il s'agit d'un faux billet. N'ayant pas de monnaie, le propriétaire se rend chez l'épicier voisin pour demander de la monnaie. L'épicier lui remet quatre billets de 5 dollars en échange du faux billet de 20 dollars. A son retour, le propriétaire remet au monsieur la paire de chaussures et la différence de 15 dollars. Un peu plus tard, l'épicer vient voir le propriétaire du magasin, en compagnie d'agents du FBI, pour l'informer que le billet de 20 dollars est un faux. Le propriétaire est obligé de remettre à l'épicier 20 dollars, et les agents du FBI confisquent le faux billet. Quelle est la perte totale subie par le propriétaire du magasin de chaussures ? (adaptation du problème de Sobel et Matelesky, 1988). Je recommande à mes étudiants de lire le problème de différentes manières. Tout d'abord, nous lisons le problème à haute voix pour l'ensemble du groupe. Puis nous le relisons et nous demandons à certains groupes de lire en alternance les différentes phrases pour aider les étudiants à interpréter le problème de diverses manières. Cet exercice permet aux étudiants de réfléchir et d'identifier les éléments du problème qui leur paraissent importants. Nous n'écartons, à ce stade, aucune idée exprimée par les étudiants ; nous nous contentons de dresser la liste des éléments qui pourraient être pertinents et non pertinents. Par exemple, mes étudiants citent habituellement comme éléments importants les différents acteurs, la séquence des événements, les montants concernés et toute autre information revêtant, à leur avis, une certaine importance dans le problème du magasin de chaussures. L'objectif de cette partie de l'exercice est de dégager l'orientation à retenir pour les travaux en petits groupes qui vont suivre. Après cette séance de réflexion de quelques minutes, les étudiants sont appelés à travailler en petits groupes de trois ou quatre pour élaborer des stratégies permettant de résoudre le problème. Ils travaillent jusqu'à ce que chaque groupe s'entende sur la manière de résoudre le problème ou parvienne à la conclusion qu'une solution n'est pas possible. Pendant qu'ils travaillent, je vais d'un groupe à l'autre, posant des questions pour stimuler la réflexion et la communication. Le plus important pour moi, au cours des travaux en groupes, est que les étudiants échangent des vues sur leur propre perception du problème plutôt que de se ranger derrière la perception de quelqu'un d'autre. Toutefois, chaque groupe doit, à un certain stade, s'entendre sur l'approche la plus convaincante à adopter et être prêt à défendre sa conclusion devant l'ensemble de la classe. Après un temps suffisant pour permettre aux étudiants de convenir d'une interprétation, d'une méthode et d'une solution au problème, les groupes se mettent ensemble pour mettre en commun les résultats. C'est à ce niveau qu'interviennent généralement des discussions perspicaces. Pendant la mise en commun, je note les différentes stratégies utilisées par les groupes et les solutions données, et je pose des questions susceptibles d'amener les étudiants à revoir les solutions données ou les méthodes utilisées pour résoudre le problème. Dans le cas du problème du magasin de chaussures, les étudiants essaient toujours d'avancer l'argument de la «séquence logique » ou un autre argument fondé sur la visualisation de l'information - mise en scène de l'histoire, diagrammes, tableaux, etc. - pour tenter de convaincre leurs camarades en classe. Puis, vient l'argument classique suivant chez les étudiants : « Le propriétaire du magasin remet au monsieur la paire de chaussures, plus la différence de 15 dollars, et doit en outre remettre 20 dollars à l'épicier et le faux billet de 20 dollars aux agents FBI. Il pert donc 15 dollars + 20 dollars, soit 35 dollars en espèces, plus la paire de chaussures ». Au cours de la mise en commun de ces arguments, les étudiants ont souvent recours à des illustrations ou à des mises en scène pour démontrer le «flux » de l'argent qui leur permet de trouver la solution. Une des raisons pour lesquelles j'aime ce problème, c'est que les étudiants sont parfois très partagés à ce sujet. Au moment où certains étudiants s'efforcent de convaincre leurs camarades de la logique de leurs solutions, je reprends leurs arguments le plus fidèlement possible, d'une voix quelque peu hésitante. Quand j'utilise cette approche, je remarque que de nombreux étudiants acquiescent de la tête comme pour confirmer mon «hésitation» délibérée. La «tâche» la plus difficile de l'enseignant à ce stade, à mon avis, ne consiste pas à répondre aux questions des étudiants. Souvent, mes étudiants me suivent du regard pour vérifier le bien-fondé de leurs réponses ou pour régler leurs points de désaccord. Auparavant, je pensais que j'aidais mes étudiants en répondant aux questions qu'ils me posaient. Maintenant, je me rends compte qu'une telle aide n'est que superficielle et temporaire. Au contraire, c'est en leur posant des questions que je permets à mes étudiants de maintenir l'attention et d'entretenir la réflexion sur des notions cruciales en mathématiques, leur donnant ainsi l'impulsion nécessaire pour avoir confiance en leurs aptitudes à penser en mathématiciens. Je leur pose des questions du genre : «quelle est la solution la plus appropriée à la lumière de ces arguments ? Ces arguments vous semblent-ils convaincants ? Comment défendriez-vous vos arguments face à ce qui ne sont pas d'accord avec vous ? ». A mesure que mes étudiants font preuve de plus d'indépendance et de créativité, je leur pose des questions pour les encourager à réfléchir sur leurs propres problèmes et idées en mathématiques, du genre : « Comment pouvez-vous appliquer la stratégie retenue pour résoudre un problème connexe si, par exemple, un élément du problème original venait à changer d'une manière ou d'une autre ? En quoi la modification de certains éléments du problème affecte-t-elle le processus de solution et la solution elle-même ? » Je sais que mes étudiants ont fait des progrès quand ils commencent à me poser ce genre de questions avant que je les leur pose. Attendre que les étudiants prennent sur eux de vérifier une solution ne me met pas encore à l'aise, mais les réactions des autres étudiants à la solution proposée interviennent spontanément. Pendant un cours, j'ai donné du temps aux étudiants pour répondre, et un étudiant dans un coin de la salle a indiqué qu'à son avis, «les 20 dollars remis à l'épicier par le propriétaire du magasin de chaussures n'étaient pas perdus». Il y a eu dans la salle des réactions bruyantes des membres de tous les groupes et un autre étudiant s'est écrié à haute voix : « Faisons une mise en scène ». A l'issue de ces réactions et d'autres discussions, j'ai passé en revue tous les arguments déjà avancés, tout en demandant à tous mes étudiants de chercher à répondre à des questions telles que : «combien d'argent a perdu le propriétaire du magasin de chaussures à son retour de chez l'épicier quand il a remis au monsieur sa différence et la paire de chaussures ? » En reprenant les arguments des étudiants et en leur posant des questions, je contribue à développer leurs techniques et je les encourage à penser aux différentes manières d'aborder le problème. Cette méthode aide non seulement les étudiants chez qui la solution ou le raisonnement de quelqu'un d'autre crée une confusion, mais aussi les étudiants qui présentent leurs arguments et qui peuvent ainsi être amenés à les revoir. Dans le processus recherche d'une autre technique ou d'une autre manière possible d'aborder le problème, mes étudiants confortent leur confiance en leur argumentation initiale ou alors changent d'avis pour adopter une approche plus convaincante. Au cours de ces premières expériences dans la solution des problèmes, il importe que les étudiants examinent le problème sous différents angles, présentent et écoutent des arguments convaincants. Après la présentation et la discussion des premiers arguments sur le problème du magasin de chaussures, je demande s'il y a de nouvelles solutions ou d'autres arguments à présenter. En demandant que les discussions se poursuivent, je veux en fait amener mes étudiants à comprendre que l'aspect réellement important dans la solution des problèmes est l'examen des diverses stratégies possibles pour les résoudre. Par ailleurs, les étudiants doivent savoir que pour bien résoudre les problèmes, chacun doit se demander, à son propre niveau, si son argumentation concernant un problème donné est correcte. D'où ma réticence à faire part de mes vues personnelles sur le problème tant que je n'estime pas qu'elles n'influenceront pas manifestement le raisonnement de mes étudiants ou leur confiance en mathématiques. Pour déterminer à partir de quel moment je peux donner mon point de vue dans le processus de recherche d'une solution au problème, j'écoute les commentaires faits par mes étudiants. S'ils écoutent attentivement les idées émises par leurs camarades en classe et en discutent de manière franche, et s'ils avancent des arguments pour appuyer ou rejeter ces idées, je peux alors commencer à donner mon propre point de vue sur le problème. Si les étudiants réagissent en maintenant les arguments avancés face à leurs camarades, après la communication de mon point de vue, je continue tout de même à présenter mes idées. Ce type de réaction de la part des étudiants indique qu'ils sont de plus en plus confiants en leurs capacités dans le domaine des mathématiques. J'ai constaté que le temps consacré à ces activités initiales varie en fonction des expériences antérieures des étudiants dans ce domaine et de leur âge, ainsi que de ma capacité à leur communiquer ces nouveaux objectifs en matière de solution des problèmes. Mes étudiants finissent par comprendre que je m'intéresse réellement au processus de recherche de la solution au problème proposé. Malheureusement, ils commencent aussi à croire que tout ce qu'ils disent ou font est juste et que les réponses aux problèmes de mathématiques importent peu ou ne sont pas nécessaires. A ce stade, mes étudiants ont souvent l'habitude de dire : « Il n'a pas dit que ce que j'ai dit est faux. C'est donc juste ! Quel que soit ce que je puisse mettre par écrit, je validerai la matière ». Piaget estime que tous les étudiants finissent par trouver la bonne réponse en mathématiques si leur argumentation est suffisamment longue, mais c'est justement là le problème (Inhelder et Piaget, 1958). Si je dis à mes étudiants que leurs réponses sont fausses, je deviens pour eux l'autorité en mathématiques. Si je ne leur dis pas que certaines de leurs réponses sont fausses, ils semblent se contenter de leurs réponses initiales. J'ai constaté que mes étudiants abordent les problèmes avec plus de rigueur quand je leur demande de chercher les arguments à présenter à leurs camarades pour les convaincre de la justesse de leurs raisonnements et de leurs solutions. Je demande à chaque groupe de présenter sa propre stratégie de solution du problème en classe. Puis, je pose des questions du genre : « Quelqu'un a-t-il une autre façon de résoudre le problème ? » Si mes étudiants me demandent de leur indiquer la bonne réponse ou la bonne stratégie, je réplique en disant : Selon vous, quelle est la bonne réponse ? Pourquoi pensez-vous que cette réponse ou stratégie est la bonne ? » Cette façon de leur renvoyer la question ne plaît pas au départ à certains de mes étudiants qui insistent pour que j'indique la bonne réponse. Je leur explique alors que s'ils doutent de la solution qu'ils ont donnée et de la méthode qu'ils ont utilisée, cela veut dire qu'ils n'ont pas été jusqu'au bout du processus de recherche de la solution au problème. Quand un doute subsiste, il faut trouver une autre façon d'aborder le problème en vue de la solution appropriée. Des doutes subsistent généralement dans le cas du problème du magasin de chaussures. Après des discussions approfondies et des encouragements à aborder autrement le problème, un groupe a présenté le problème de manière plus simple en utilisant une approche à posteriori. Ce groupe a soutenu que : « Plutôt que de penser à la somme d'argent perdue par le propriétaire du magasin, il vaut mieux se demander qui se retrouve avec de l'argent qu'il n'avait pas au départ dans cette histoire et combien ». La réponse à cette question permet de savoir combien le propriétaire du magasin a perdu. L'épicier a donné 20 dollars et a récupéré ses 20 dollars ; il n'a donc rien en sus. Les agents du FBI se retrouvent avec un faux billet. La seule personne qui, dans cette histoire (en dehors du propriétaire du magasin) qui a plus d'argent qu'au début de l'histoire est le monsieur qui voulait «acheter» la paire de chaussures. Il est reparti du magasin avec la paire de chaussures plus 15 dollars ». Les divers arguments présentés, les discussions tenues et les raisonnements avancés nous ont permis de mieux saisir ce qu'est la solution des problèmes. J'estime avoir atteint mon objectif lorsque mes étudiants et moi-même arrivons à échanger des vues sur un pied d'égalité au cours du processus de solution des problèmes. Quand on en arrive là, je ne suis plus qu'un membre parmi tant d'autres au sein de la communauté des personnes capables de résoudre des problèmes. Mes propositions et idées sont bien entendu valables, mais pas plus que celles de tout autre membre d'une telle communauté. Mon rôle consiste à présenter le problème et à poser des questions pour stimuler la réflexion dans le domaine des mathématiques. Je sais que j'ai réussi à cet égard quand mes étudiants se mettent à poser des questions auxquelles je n'ai pas pensé auparavant. Par exemple, j'ai donné à mes étudiants un problème où il fallait trouver la superficie d'une série de triangles isocèles. Au cours du processus de recherche de la solution, un groupe a avancé l'hypothèse que le produit d'un côté et de la moitié de la base était toujours supérieur à la superficie de ces triangles. Jamais auparavant, je ne me rappelle être tombé sur cette hypothèse. Ma première réaction a été de vouloir vérifier immédiatement le bien-fondé de cette hypothèse, mais je me suis ravisé et j'ai plutôt posé des questions qui ont permis à mes étudiants et à moi-même d'examiner minutieusement l'impact d'une telle hypothèse sur nos autres connaissances en ce qui concerne la superficie et les triangles isocèles : « Qu'est ce qui fait la particularité des triangles isocèles ? Quel rapport y a-t-il entre la hauteur d'un triangle isocèle et chacun de ses deux côtés ? Quel rapport y a-t-il entre le calcul de la superficie d'un triangle isocèle et la longueur de ses côtés ? » Quand mes étudiants deviennent confiants en leurs capacités à résoudre les problèmes, ils trouvent automatiquement des arguments pour appuyer ou rejeter les hypothèses, et reconnaissent la nécessité de partager ces arguments avec leurs camarades de classe. Il va sans dire que cela ne se produit pas du jour au lendemain. Il faut tout d'abord un enseignant disposé à participer au processus de solution du problème avec les étudiants, puis du temps, de la persévérance et de bons problèmes. Le fait d'avoir trouvé quelques bons problèmes à proposer à mes étudiants en classe m'a permis de commencer à changer mes méthodes pédagogiques et a facilité l'interaction avec mes étudiants. Je reprends ci-après quelques-uns de mes problèmes favoris dans l'espoir qu'ils pourraient être utiles à d'autres. 1. Si vous pliez une feuille de papier en deux parties égales une fois, vous obtenez deux feuilles représentant chacune la moitié de la feuille originale. Si vous pliez chacune de ces deux demi-feuilles en deux parties égales, vous obtenez maintenant quatre feuilles. En répétant le même processus jusqu'à vingt fois, combien de petites feuilles obtenez-vous et quelle sera l'épaisseur si vous posez le tas de toutes ces petites feuilles par terre ? 2. Joe et Esther perçoivent le même salaire, mais leur patron vient dire à Joe qu'il va subir une baisse de 10% de son salaire, et à Esther qu'elle va bénéficier en revanche d'une augmentation de 10%. Six mois plus tard, à la suite des plaintes de Joe, le patron revient dire à Joe qu'il bénéficie d'une augmentation de 10%, et à Esther qu'elle subit par contre une baisse de 10%. Comparez leurs salaires actuels par rapport à leurs anciens salaires, après toutes ces augmentations et baisses. Gagnent-ils plus ? Gagnent-ils moins ? Expliquez votre réponse. 3. Deux véhicules roulent sur une route dans la même direction. Celui qui est devant roule à une vitesse de 46 milles/heure. L'autre roule à une vitesse de 70 milles/heure. A combien de milles seront-ils l'un de l'autre trente minutes avant que celui qui va plus vite rattrape celui qui va moins vite ? 4. Cinq chats peuvent attraper cinq souris en cinq minutes. A ce rythme, combien de chats faut-il pour attraper 100 souris en 100 minutes ? (Indication : pas 100 en tout cas). 5. Sur les douze pièces se trouvant dans un porte-monnaie, une est contrefaite et pèse moins que les onze autres. Utiliser une balance pour trouver la fausse pièce en limitant le nombre de pesées au strict minimum possible. Expliquez votre stratégie. 6. Des balles de tennis sont emballées de manière bien
serrée dans des étuis, à raison de trois balles par
étui. La hauteur de l'étui est-elle plus grande ou plus
petite que celles des trois balles superposées ? Dites pourquoi
vous êtes certains que vous donnez la bonne réponse. REFERENCES Inhelder, Barbel, and Jean Piaget. The Growth of Logical Thinking from Childhood to Adolescence. New York : Basic Book, 1958. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, Va : NCTM, 1989. Schoenfeld, Alan H ; « Learning to Think Mathematically : Problem
Solving, Metacognition, and Sense Making in Mathematics ». In Handbook
of Research on Mathematics Teaching and Learning, edited by Douglas A.
Grouws, 334-70. New York : MacMillan Publishing Co., 1992. AUTEUR : Michael MIKUSA, mmikusa @ Kent.edu, est professeur à Kent State University, Kent, OH 44242-0001. Ses travaux de recherche portent notamment sur la manière dont les étudiants établissent la véracité de leurs idées en mathématiques, et l'étude de la dynamique des changements dans la mise en œuvre de la réforme de l'enseignement des mathématiques. SOURCE : Mathematics Teaching in the Middle School 4, No 1 20-5 S'98
- Reproduction autorisée par Mathimatics Teaching in the Middle
School - Droits d'auteur 1998 par le National Council of Teachers of Mathematics.
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