A Álgebra é por vezes definida como uma aritmética generalizada ou uma linguagem para a generalização da aritmética. Todavia, a álgebra é mais do que uma série de regras para manipular símbolos; É uma forma de pensar. Quando as crianças no episódio descrito viram que podiam estender uma ideia para além de situações concretas e números pequenos, exibiram um pensamento algébrico e experimentaram o poder da matemática. O objectivo deste artigo é o de ilustrar quantos conceitos algébricos -chave podem ser informalmente desenvolvidos na área do número-e-operações no ensino primário.

EXPRESSÕES E EQUAÇÕES: As crianças encontram primeiro as expressões e equações, muitas vezes chamadas frases numéricas, quando elas aprendem a registar os resultados de uma situação de adição. Por exemplo, se três patos estiveram a nadar num posso forem juntados por outros dois, a expressão simbólica 3 + 2 é utilizada para registar a acção da junção e é um nome para número de patos. A equação 3 + 2 = 5 afirma que 5 é um outro nome para o número total de patos. O sinal igual significa que 3 + 2 e 5 ambos representam o mesmo número.

Muitas crianças vêem o sinal igual apenas como uma instrução para computar. Este mau conceito é reforçado cedo que se lhes mostra o formato vertical de computação para 3 + 2; A barra sobre o número de baixo é um sinal para encontrar uma resposta. É também verdade que pressionar 3 + 2 = numa calculadora resulta na forma padrão do número. Com efeito, as crianças precisam de experiências pelas quais podem ver e escrever outros tipos de frases numéricas, tais como 5 = 3 + 2 e 3 + 2 = 4 + 1. Para reforçar o conceito de que um número pode ser representado por várias e diferentes expressões, os alunos são instruídos a dizer um determinado número em várias formas diferentes, utilizando dois ou mais números e uma ou mais operações. Por exemplo, o 9 pode ser designado 4 + 3 + 2 ou 2 x 5 - 1. Numa actividade relacionada, as equações devem ser completadas para que uma expressão tenha pelo menos uma operação em cada lado do sinal igual. Por exemplo, se 7 + 5 for um lado de uma equação, um aluno pode escrever 7 + 5 = 2 x 6 ou 7 + 5 = 10 + 5 - 3.

PROPRIEDADES E CONVENÇÕES: À medida em que os alunos vão estudando as operações e aprendem a computar, eles encontram propriedades que são inerentes no sistema numérico e convenções que são socialmente acordados em aspectos de linguagem simbólica. A exploração da propriedade numérica proporciona experiências valiosas na generalização da aritmética. As crianças podem descobrir e compreender porque é que a ordem não importa na adição ou na multiplicação de dois números. Por exemplo, um aluno pode justificar que 3 x 4 = 4 x 3, mostrando como três grupos de quatro balcões podem ser transformados em quatro grupos de três e dizendo que as duas expressões são simplesmente formas diferentes de representar o mesmo número. Outros reagrupamentos mostram que 3 x 4 = 2 x 6 (duas séries de seis) ou 3 x 4 = 12 (a forma padrão de resposta -- um 10 e dois 1's). Os alunos aplicam a propriedade comunicativa quando eles computam 3 + 14 contando a partir de 14 em vez de 3, e 23 x 2 duplicando 23 em vez de adicionar o 2 vinte e três vezes.

Muitos aprendizes jovens presumem incorrectamente que a propriedade comunicativa também funciona para a subtracção e a divisão. É frequente as crianças lerem 2 - 5 como "5 - 2" ou ler a expressão correctamente como "2 menos 5" mas afirmar que a resposta é 3. Quando as representações simbólicas para essas operações são introduzidas primeiro, a pergunta "Será que a mudança na ordem dos dois números altera a resposta?" deve ser feita para investigação, se não pelos alunos, e depois pelo professor. Por exemplo, as crianças podem instruídas a inventar problemas de história correspondentes a 5 - 2 e 2 - 5 e considerar se essas duas expressões são iguais. É incorrecto afirmar que tais expressões como 2 - 5 ou 2 a dividir por 6 "não podem ser feitas". Antes de aprenderem sobre números inteiros negativos e fracções, muitas crianças já terão visto como uma calculadora continua a contar depois do zero e sabem da experiência de que duas pizas podem ser partilhadas por seis pessoas. Os professores devem também evitar dizer que os alunos devem "sempre subtrair o número menor do número maior" ou "dividir um número maior pelo número menor".

Quando os alunos começam a adicionar ou a multiplicar três ou mais números, eles descobrem que independentemente da ordem pela qual realizam a computação a soma ou o produto é sempre o mesmo. As crianças muitas vezes aplicam a propriedade associativa quando estão a pensar em estratégias para resolver factos básicos. Por exemplo, 8 + 5 pode ser pensado como (8 + 2) + 3; e 6 x 8 como 2 x (3 x 8). Este princípio é também aplicado na estratégia da aritmética mental para simplificar computações, tais como 7 + 4 + 6 + 3 e 57 x 25 x 4, e como uma forma para verificar tais computações como estas, fazendo-as de duas formas diferentes.

Quando os aprendizes tentam avaliar expressões como 7 - 5 - 2 e 3 + 2 x 5, eles vêem que diferentes respostas são possíveis, dependendo da ordem pela qual as operações são realizadas. Aqui, a questão é a comunicação; é necessário aprender as regras que outras pessoas que utilizam a matemática aceitaram e aplicam. As convenções de parênteses e ordem-de-operação, permitem-nos comunicar uns com os outros. Verifique que várias calculadoras de quatro funções não são programadas para regras básicas de ordem-de-operação, mas realizam operações na ordem registada. Com uma tal calculadora, 6 + 2 x 3 é computado como (6 + 2) x 3 ao invés de 6 + (2 x 3), quando a multiplicação toma precedência. A computação em cadeia é também utilizada no tipo de turma onde se pratica o cálculo mental e o professor diz em voz alta uma sequência de números e operações, tais como 8 + 5 - 3 x 7 :10 = _______.

Uma das mais importantes propriedades na aritmética e na álgebra é a lei de distribuição da multiplicação sobre a adição. Para explorar esta ideia informalmente, os alunos com algum conhecimento da multiplicação podem ser pedidos a dizer quantos objectos estão num diagrama da figura 1 e, fazê-lo em mais de uma forma. Olhando para o arranjo de dois grupos, os alunos podem ver o número dos objectos como a soma de 3 x 2 e 3 x 4. De uma outra perspectiva, encontram-se três filas de seis objectos. Esta relação pode ser registada simbolicamente, utilizando convenções de ordem-de-operação: 3 x 2 + 3 x 4 = 3 x (2 + 4) = 3 x 6.

A lei de distribuição é muitas vezes aplicada como uma estratégia para decifrar um facto de multiplicação não conhecido utilizando factos conhecidos. Por exemplo, 6 x 7 pode ser concebido 6 cincos mais 6 dois ou 5 setes mais um outro sete. Simbolicamente, 6 x 7 = 6 x (5 + 2) = 6 x 5 + 6 x 2 = 30 + 12, ou 6 x 7 = (5 + 1) x 7 = 5 x 7 + 1 x 7 = 35 + 7.

RELACIONAMENTO ENTRE OPERAÇÕES: Uma outra importante ideia algébrica envolve o relacionamento inverso entre a adição e a subtracção e entre a multiplicação e a divisão. Considere uma série de três objectos e uma outra de dois objectos, tal como indicado na figura 2. Duas frases numéricas de adição e duas de subtracção seguem-se às interpretações de "combine" e "tire" das duas operações. Estas duas frases 3 + 2 = 5 e 5 - 2 = 3, registam que subtrair 2 é uma forma de desfazer o resultado de adicionar 2 e vice-versa. A adição e a subtracção são operações inversas.

O mesmo relacionamento existe entre a multiplicação e a divisão. Na ordem da figura 3, nós interpretamos 3 x 4 como três grupos de 4 e 12 a dividir por 4 como descobrindo como os grupos de quatro estão constituídos no 12. As respectivas equações confirmam que dividir por 4 é uma forma de desfazer da multiplicação por 4.

A compreensão de operações inversas e a capacidade de reconhecer e escrever famílias e factos de números, permitem maior flexibilidade na computação e preparam os alunos para manipularem expressões e resolverem equações na álgebra. Por exemplo, saber que 3 + 2 = 5 e 3 = 5 - 2, são equações equivalentes, pode ajudar os alunos a compreenderem porque é que x + 2 = 5 pode ser transformado em x = 5 - 2.

Devem ser dada aos alunos a oportunidade e o desafio para reflectirem sobre relacionamentos paralelos entre as quatro operações. Os alunos trabalhando em pequenos grupos podem ser instruídos a discutir como a multiplicação e a divisão são como a adição e a subtracção, e como a multiplicação e a adição são como a divisão e a subtracção. Depois, podiam resumir as suas respostas por escrito e desenhar um diagrama, tal como na figura 4, para mostrar o relacionamento. Em classes mais elevadas, os alunos devem notar e apreciar a ligação entre a regra para a subtracção de um número inteiro "acrescentar o seu oposto" e a regra para dividir por uma fracção (multiplicar pelo seu recíproco).

VARIANTES: A transição da aritmética para a álgebra é marcada pela utilização de letras como objectos matemáticos. As variantes são o conceito que permite a generalização da aritmética. Uma variante é um representante de uma gama de números. Nas classes iniciais, as crianças encontram a noção da variante quando se deparam com números em falta a acrescentar (3 + m = 5), quando eles verbalizam as propriedades numéricas (qualquer número vezes zero é zero), e quando generalizam os padrões numéricos (o número de rodas é quatro vezes o número de carros). Segue-se uma discussão para utilizar as variantes nestes três contextos -- resolver equações,, generalizar propriedades e explorar relacionamentos funcionais.

RESOLVER EQUAÇÕES: Numa equação como 5 + n = 8, a variante n é o detentor do lugar para um específico número desconhecido. A tarefa é a de resolver o n -- encontrar um número que substituirá o n e fazer a frase verdadeira. As crianças são primeiro expostas a esta ideia através de problemas com números em falta a acrescentar. A variante é normalmente representada pelo símbolo m e é, por vezes, representada como uma marca que cobre um número escondido, ou um quadro no qual se escreve o número em falta. A criança pode encontrar o número desconhecido recordando um facto de adição, utilizando advinha e texto ou utilizando uma estratégia de contagem.

GENERALIZAÇÕES: Uma organização da turma para uma frase como n + 0 = n é uma equação especial para ser resolvida. Quando for descoberto que esta declaração é verdadeira para todos os números, a equação pode ser interpretada como sendo uma forma simbólica de afirmar que "um número + 0 é igual a si próprio". Vindo da outra direcção, as crianças que descobriram e verbalizaram esta regra sobre a adição do 0, tal como na anedota inicial, podem então criar ou serem mostradas a equação como uma forma simbólica de generalizar o padrão:
4 + 0 = 4, 9 + 0 = 9, 100 + 0 = 100, ..., n + 0 = n.

RELACIONAMENTO FUNCIONAL: Uma expressão como 2 x n + 1 pode ser utilizada como um generalizador de padrão que define uma função, uma das ideias mais fundamentais na matemática. Para qualquer valor do n, a expressão tem um valor único. Valores de n e os valores correspondentes da expressão formam uma série de pares ordenados (1,3), (2,5), (3,7), etc., onde o n = 1, 2, 3, ... O relacionamento pode também ser representado num quadro ou num gráfico.

No ensino primário, o trabalho relacionado ao conceito da função foca sobre os padrões de números e o relacionamento matemático. Por exemplo, as crianças podem explorar o problema de descobrir quantos olhos estão num pequeno grupo ou na sala inteira (Howden 1989). Elas podem utilizar a contagem, figuras, ou peças para modelar o processo e, depois, registar as suas constatações num quadro (figura 5).

O professor pode encorajar a turma a utilizar palavras para descreverem os padrões numéricos e generalizarem o resultado. As crianças podem relacionar o padrão "olhos" para saltar a contagem, contando de 2 em 2, ou adicionando 2 ao termo anterior. A ideia da função é encontrada quando o foco for no relacionamento entre os dois padrões; A turma é instruída a prever, sem continuar os padrões, quantos olhos teriam 10 pessoas. Ao explicar a resposta de 20 olhos, uma criança pode dizer que o número de olhos é igual ao número de pessoas acrescentado ao mesmo; ou duplicando (multiplicado por 2). Escrever a regra do padrão como m + m ou m x 2 introduz o uso de uma variante como o detentor do lugar para qualquer número. Em classes mais altas, os alunos irão aprender a convenção de escrever 2n para significar 2 x n.

Esta função pode também expressa como uma equação contendo duas variantes, por exemplo, e = 2 x p ou e = 2p. É importante enfatizar que as variantes "e" e "p" são interpretadas como o número de olhos e o número de pessoas, em vez de abreviaturas dessas palavras. Esta compreensão pode ajudar as crianças a evitarem, no futuro, o tão bem documento erro implícito na escrita da equação 6S = P ao invés de S = 6P para representar a declaração de que "há seis vezes mais o número de alunos que de professores" (Clement 1982).

Como uma panorâmica para função definida por 2n + 1, considero o problema de fazer triângulos utilizando palitos. Se os triângulos estiverem separados um do outro, serão necessários três palitos para cada triângulo e uma regra de padrão é 3 x m. Suponha, todavia, que triângulos partilham um lado comum. A partir do quadro ilustrado na figura 6, nós prevemos que 21 palitos são necessários para fazer dez triângulos. A regra pode ser expressa como 2 x m + 1.

CONCLUSÃO: A ênfase sobre a compreensão conceptual, os processos de pensamento e as conexões matemáticas nas primeiras fases do ensino da matemática, não só prepara as crianças para o estudo formal da álgebra, como também torna o estudo do número e das operações mais significativo e intelectualmente estimulante. Jovens aprendizes podem encontrar padrões e regularidades e generalizar as suas experiências com números.

MATERIAL ADICIONAL:
FIGURA 1: Explorar a lei de distribuição.
FIGURA 2: A adição e a subtração são operações inversas.
FIGURA 3: A multiplicação e a divisão são operações inversas.
FIGURA 4: Relacionamento entre as quatro operações.
FIGURA 5: O número de olhos é uma função do número de pessoas.
FIGURA 6: Um relacionamento funcional do triângulo-e-palitos.

REFERÊNCIAS:
Clement, John. "Algebra Word Problem Solutions: Thought Processes underlying a Common Misconception". Journal for Research in Mathematics Education 13 (January 1982): 16 - 30.

Howden, Hilde. "Implementing the Standards: Patterns, Relationships, and Functions". Arithmetic Teacher 37 (November 1989): 18-24.
WBN: 9800100445008.

AUTOR: James H. Vance
James Vance, jvance@uvic.ca, ensina na Universidade de Victoria, Victoria, BC V8W 3N4. Os seus interesses de investigação incluem conceito de números racionais e o desenvolvimento profissional de professores para a reforma educacional.

FONTE: Ensina a Matemática às Crianças v 4 p282-5 Janeiro/98. O publicador da revista é detentor dos direitos do autor deste artigo que é reproduzido com autorização. Mais reprodução deste artigo em violação dos direitos do autor, é proibida.