Alunos: [em uníssono] Um ângulo direito.

Kathie: Mas se nós virarmos ao contrário seria um ângulo esquerdo.

Professor: Se este é um ângulo direito [fig. 1a], e este é um ângulo esquerdo [fig. 1b], o que é isto [fig. 1c]?

Kathie: Este não é um ângulo.

Driver e outros (1994) afirmam que constituir significado envolve "pessoas-na-conversação". Os Padrões Profissionais para o Ensino da Matemática (NCTM 1991) realça os papeis dos professores e dos alunos no discurso matemático. Tanto os alunos, como os professores, são apelados a ouvirem atentamente um ao outro, responder um ao outro e colocar questões (NCTM 1991). As interacções aluno-aluno são tão importantes que as interacções professor-aluno, na constituição de um significado matemático. As interacções professor-aluno também assumem uma forma diferente. O professor já não assume o papel do transmissor de conhecimento, mas torna-se parte da comunidade da aprendizagem de matemática. As conversações matemáticas devem tornar-se parte integrante de uma actividade da turma -- o professor com alunos, e alunos com alunos, devem conversar sobre a matemática. Num tal estabelecimento, os alunos podem reflectir sobre e clarificar o seu pensamento nas ideias matemáticas (NCTM 1989).

No geral, as interacções na turma sobre a matemática devem, desta perspectiva, ser caracterizadas por um engajamento genuíno para comunicar no qual o professor presume que as acções matemáticas de um aluno ou seus exemplos são racionais do seu ponto de vista, mesmo se este sentido não for imediatamente aparente para o professor (Cobb et al. 1991, 7).

O excerto acima sugere que a cultura da turma deve ser renegociada por forma a que os alunos respondam aos comentários dos outros, ao invés de terem os seus comentários filtrados através do professor. Esta abordagem muda significativamente o tom matemático na turma. O professor passa a ser um participante na conversa e foca no entendimento da matemática dos seus alunos, tal como revelado nas conversações. Ball (1993) afirma que o professor precisa de uma perspectiva bivocal -- concebendo a matemática através da mente do aluno ao mesmo tempo que concebe a mente da pessoa que aprende através da matemática" (p. 159). Isto é, o professor procura inferir a matemática que o aluno construiu e o raciocínio subjacente a esta construção. O professor apresenta tarefas que oferecem perspectivas no raciocínio matemático do aluno.

O que se segue é a história de conversações que tiveram lugar em quatro turmas da quarta classe. Duas das conversações são sobre encontrar o volume de um cubo. A primeira conversa mostra não só o que estes quatro alunos da quarta classe compreendem, mas também as formas pelas quais o posicionamento físico dos alunos afectaram a qualidade da conversa.

A segunda conversa mostra as adaptações feitas pelos professores na apresentação de tarefas e no posicionamento físico dos alunos. Uma conversa sobre subtracção de números inteiros é incluída para ilustrar a força que essas conversas têm na revelação de má compreensão em torno do algoritmo de subtracção. A última conversa, sobre a medida do ângulo, mostra as ideias de discussão matemáticas dos alunos sem o professor orquestrar a conversa. Cada conversa oferece perspectivas nas formas pelas quais essas crianças tinham construído a matemática. Sem falha, os participantes adultos ficaram surpreendidos pelo muito que ouviram e aprenderam sobre como a colocação de perguntas e o posicionamento físico afectaram a qualidade das conversas matemáticas.

CONVERSAS SOBRE VOLUME, PARTE 1: Sentei-me num sofá com todas as crianças à minha frente. Algumas das crianças estavam sentadas no chão. Outras sentaram-se nas cadeiras. Uma criaça encostou o braço no lado esquerdo do sofá. O professor da turma e o director sentaram-se em cadeiras no perímetro do grupo. Muito pouco destes alunos foram capazes de ver as caras dos outros. Cada criança tinha uma calculadora e uma cartolina, papel e lápis. Mostrei um cubo de seis-polegadas-por seis-polegadas-por seis-polegadas, que tinha feito com 216 cubos pequenos. Tinha uma construção tipo harmónica que me permitia abrir o cubo para mostrar os cubos interiores.

Comecei a conversa, perguntando às crianças quantos cubos pequenos é que utilizado para fazer o cubo grande. Várias crianças começaram a apontar o dedo para o ar como se estivessem a contar os cubos. Algumas começaram a escrever nas suas folhas de papel, enquanto que os outros utilizavam as suas calculadoras. Depois de algum tempo, os alunos começaram a levantar as suas mãos.

Professor: Susan:

Susan: Duzentos e dezasseis.

Professor: Quantos concordam com a Susan? Levantem os dedos se concordam, indiquem os dedos para baixo se não concordam, fiquem de lado se não têm a certeza. [Todos os alunos apontaram os seus dedos para cima].

Professor: Como é que decidiram que haviam duzentos e dezasseis cubos? Steven.

Steven: Há seis filas de seis cubos. Isto é igual a trinta e seis. E há seis lados. Portanto, multipliquei trinta e seis por seis e cheguei ao resultado de duzentos e dezasseis.

Peter, Sherri, Angela: Yep. Foi isso que fiz.

Professor: Alguém fez de forma diferente?

Carlos: Eu apenas disse que haviam seis horizontais e seis verticais e multipliquei-os e obtive trinta e seis. E então os seis lados multiplicados chegaram ao resultado de duzentos e dezasseis. Nessa altura, estava a tentar formular uma pergunta que iria exigir que os alunos considerassem o seu pensamento sem anunciar como é que o volume é calculado.

Professor: Deixe-me ver se compreendo [eu mostro um cubo]. Estão a dizer que há trinta e seis cubos nesta face [passei a minha mão pela face frontal; vide fig. 2a] e trinta e seis cubos nesta face [passei a minhã mão pela face lateral; vide fig. 2b]. Contaram estes cubos duas vezes? [Indiquei a coluna dos cubos do canto; vide fig. 2c]. Pensei que tinha formulado a pergunta perfeita para fazer com que os alunos descobrissem o fluxo do seu pensamento, mas descobri rapidamente que afinal de contas não tinha feito. O facto de eu ter perguntado repetidamente se eles tinham contado os cubos dos cantos duas vezes não era uma questão problemática para esses alunos.

Professor: Muito bem, deixe-me ver se compreendo. Há trinta e seis cubos nesta face [a medida em que eu passava a minha mão pela face frontal]. E há trinta e seis cubos nesta face [virei o cubo para a esquerda e passei a mão pela nova face frontal]. E há trinta e seis cubos nesta face, e nesta face, e nesta face, e nesta face [a medida em que eu passava a minha mão pela face frontal]. [a medida em que continuava a fazer a rotação do cubo para mostrar as restantes quatro faces]. [Todos os alunos concordaram com o abanar da cabeça].

Professor: Então isso dá-nos duzentos e dezasseis?

Alunos: Sim.

Professor: Então qual é a sorte destes cubos? [Abri o cubo, que revelou os cubos do centro]. Um olhar espontâneo de espanto apareceu nas caras dos alunos. Sabia que o que eu tinha perguntado era problemático para a maior parte dos alunos. Tinha finalmente encontrado a pergunta correcta. Neste momento caberia a eles descobrir a solução. Depois de algum momento, o rapaz encostado ao sofá falou.

Brandon: Há seis camadas. [Ele passou a sua mão horizontalmente mostrando as seis camadas].

Professor: O que é que queres dizer? Turma, ouçam por favor.

Brandon: Há trinta e seis cubos [a medida em que ele apontava uma das faces]. E há seis camadas [indicou cada uma das camadas]. Isto dá duzentos e dezasseis cubos.

Fiquei chocado quando olhei para o relógio e vi que os alunos estavam engajados na conversa sobre a matemática há uma hora. Reflectindo na conversa, ganhei a consciência do porquê que contar os cubos dos cantos duas vezes não era problemático para os alunos. Embora tivesse dito cubo, os alunos compreenderam quadrado. Eles estavam a contar as faces dos pequenos cubos -- pequenos quadrados -- não os próprios cubos. Por conseguinte, eles não estavam a contar um cubo duas vezes, porque estavam a contar cada face apenas uma vez. A importância de perguntar como é que eles chegaram à resposta tornou-se clara. Os alunos deram a resposta "correcta" em dizer duzentos e dezasseis. Se eu não tivesse perguntado, não teria sabido que os alunos estavam a pensar em superfície e não volume.

Quando revia a disposição física das crianças e a discussão, fiquei a saber a conversa era dirigida a mim e filtrada através de mim, e que muito pouca inter-acção aluno-aluno tinha ocorrido. Queria estruturar o ambiente físico para encorajar melhor conversa pela qual os alunos iria inter-agir um com o outro.

CONVERSAS SOBRE VOLUME, PARTE 2: Tirando lição da conversa anterior, repeti esta actividade numa outra turma da quarta classe. Um grande tapete cobriu o chão numa secção da sala. Os alunos sentaram-se no perímetro do tapete para que cada um pudesse ver o seu colega. O professor e eu sentámo-nos no tapete com os alunos. Mais uma vez perguntei aos alunos quantos cubos pequenos eu tinha utilizado para construir o cubo grande de seis-polegadas-por seis-polegadas-por-seis-polegadas-por-seis-polegadas. A conversa começou como tinha começado na outra turma.

Os alunos, mais uma vez, disseram que o cubo era constituído por duzentos e dezasseis cubos pequenos, porque trinta e seis cubos estavam em cada face e o cubo tinha seis faces. Mais uma vez, a minha pergunta sobre a contagem dos cubos dos cantos não fez com que os alunos vissem o fluxo no seu pensamento. Desta vez, eu tinha um cubo de cinco-polegadas-por-cinco-polegadas-por-cinco-polegadas que tinha mostrado, e fiz a mesma pergunta: "Quantos cubos pequenos utilizei para construir este cubo?". Mais uma vez, os alunos começaram a trabalhar com as suas calculadoras e a escreverem nos seus papeis.

David: Cento e cinquenta.

Professor: Quantos de vocês concordam com o David? [Cerca de dois terços dos dedos se levantaram]. Alguém não está de acordo?. [Ninguém mostrou qualquer dedo]. Alguém não está certo? [Cerca de um terço dos alunos apontaram os seus dedos para o lado]. Como é que chegou a este resultado, Davi?

David: Há vinte e cinco cubos no lado vezes seis. O resultado é cento e cinquenta.

Adam: Mas há apenas cento e vinte e cinco cubos.

A turma continuou a discutir que o cubo grande tinha 125 cubos porque tinha cinco camadas de 25. A minha escolha para utilizar um outro exemplo de cubo para motivá-los a repensarem no método que tinham utilizado para chegarem ao número de cubos no primeiro cubo, foi frutífero. O método original dos alunos não iria generalizar-se num segundo exemplo. Eles deviam encontrar uma outra explicação -- camadas em vez de faces. Interessantemente, nesta turma os alunos começaram a discutir o problema entre si, em vez de dirigi-lo a mim para comentários. Não estava claro se esta discussão reflectia o posicionamento físico dos participantes ou a cultura da turma que tinham sido negociados antes da lição. A turma tinha quadros, em vez de carteiras tradicionais. A professora não tinha uma carteira na sala. Ela preferiu sentar-se numa das carteiras com os alunos. Além disso, esta professora tinha sido capaz de criar um ambiente na turma que oferecia aos alunos oportunidades para assumirem a sua propriedade de aprendizagem. Por exemplo, a professora e os alunos desenvolveram rubricas de resultados para várias tarefas da turma. Os alunos tiveram também oportunidades para se avaliarem a si próprios. Este exemplo ilustra como esta professora tinha reconceitualizado o que queria dizer a transformação envolvida no processo do ensino e da aprendizagem.

CONVERSAS SOBRE NÚMEROS E ÂNGULOS: Perguntei aos professores da quarta classe se podia tentar esta estratégia de instrução para um período de tempo mais longo. Os professores e eu acordamos que podia trabalhar com duas turmas novas da quarta classe durante duas semanas. Um professor estava a fazer actividades de análises de dados que pediriam incluir a construção de um gráfico circular.

CONVERSAS SOBRE A SUBTRACÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS: No meio da unidade da análise de dados, comecei a perguntar-me sobre a compreensão dos alunos das quatro operações aritméticas. Empurrámos todas as carteiras ao perímetro da sala e sentámos em círculo no soalho. Cada aluno trouxe uma cartolina ao círculo. O assistente principal e eu sentámo-nos no soalho com os alunos. O professor da turma sentou-se numa mesa no perímetro do círculo para que pudesse tomar notas.

Comecei a discussão, pedindo aos alunos para adicionarem cinco e sete e sete e cinco. Depois, pedi que multiplicassem dois e quatro e quatro e dois. Perguntei aos alunos o que é que tinham notado nestes problemas. Eles afirmaram que "2 vezes 4 e 4 vezes 2 tinham o mesmo resultado". Em seguida, perguntei sobre 5 menos 2 e 2 menos 5. Embora esses alunos não tivessem tido dificuldades com as perguntas iniciais, eles não concordaram com a resposta ao 2 menos 5. Alguns alunos disseram que a resposta ao 2 menos era zero, outros disseram que era -3. Vários disseram que a resposta era 3, e um aluno disse que a resposta era 8. Nós tivémos um diálogo interessante e esclarecedor.

Professor: Como é que obteve oito?

Walter: Não pode tirar cinco de dois. Portanto, empresta um de cinco [fig. 3 a] e junta ao dois [fig. 3 b]. Doze menos quatro é igual a oito.

Professor: Deixe-me ver se compreendo. Não pode tirar cinco de dois, e por isso emprestou um do cinco. Deu-o ao dois, portanto doze menos 4 é igual a oito?

Walter: exacto:

Professor: O que é que os outros pensam?

Muitos alunos indicaram que tinham compreendido o que o Walter tinha feito. Foi uma situação muito desafiadora colocar um problema que levaria o Walter a ver o fluxo do seu pensamento. Perguntei-o como é que tinha sido capaz de transformar um 1 num 10, emprestando 1 do 5 e transformando o 2 em 12. Esta pergunta não criou qualquer conflito. Pedi que os alunos comentassem na solução do Walter. Para refutar o argumento do Walter, um aluno disse, "não se pode fazer isso com esses problemas. Faz-se isso quando eles são acima e abaixo". Wow! Agora o que é que se segue? Por último, o professor da turma puxou da sua gaveta da secretária e tirou dois rolos de linha.

Professor da turma: Vejam! Aqui tendes dois rolos de linha. A vossa mãe pede-vos cinco rolos de linha emprestado. O que é que devem fazer?

Serena: Eu sei. Vende cada rolo por, digamos, 1 dólar cada e, depois, vai comprar o que precisa.

Todos os adultos na turma ficaram espantados pelo poder do algorítmo a diminuir o processo de construção de sentido na matemática. O Walter passou a ganhar tanto foco no algoritmo que ele já não estava a dar sentido à subtracção. Nesse momento, tínhamos estado a conversar por quase uma hora. Já que eu não tinha a certeza da compreensão individual dos alunos quanto a este problema, pedi que cada aluno descrevesse a sua solução para 2 - 5 por escrito.

Alguns dos alunos forneceram soluções que pareciam mais racionais para os adultos presentes na sala. Nós compreendemos o raciocínio do aluno que tinha argumentado que 2 - 5 era igual a zero. Inferimos que aluno não tinha tido várias experiências com números negativos. Sentímo-nos também intrigados pela estratégia de contagem final aplicada por vários alunos na obtenção de -3. Reconhecemos que a maior parte dos alunos presentes na sala tinham um sentido de subtracção e que alguns não tinham bom entendimento de números inteiros negativos. Não obstante, não podíamos esquecer-nos da construção matemática do Walter.

CONVERSA SOBRE MEDIDA DE ÂNGULOS: O segundo excerto da unidade de análise de dados é uma conversa sobre a medida de ângulo. Das quatro conversas apresentadas neste artigo, esta é a aproximação mais estreita à minha visão de como eu queria que essas conversas se passassem, quando iniciei as lições. Mais uma vez, nós empurrámos as carteiras de lado e sentámo-nos em círculo no soalho. Colocámos duas grandes folhas de jornal e vários lápis no centro do grupo. Numa folha de jornal, foi desenhado um ângulo de 90 graus; Um ângulo de 60 graus foi desenhado numa outra folha.

Professor: [eu apontei o dedo à folha com o ângulo de 90 graus]. O que podem dizer-me sobre este ângulo?

Kadeejah: São 90 graus.

Peter: É um ângulo recto.

Professor: Todos concordam com Kadeejah e Peter? [Todos os alunos mostraram o polegar para cima].

Professor: [Apontei para a folha com o ângulo de 60 graus]. Este ângulo é menor ou maior que o ângulo recto?

Kadeejah: É menor.

Professor: Todos concordam com a Kadeejah? [Mais uma vez, todos os alunos mostraram o polegar para cima]. Quando desenhei originalmente os dois ângulos, sem saber fiz os raios de cada ângulo com o mesmo comprimento. A assistente principal perguntou-se se os alunos estavam a julgar o tamanho do ângulo pelos cumprimentos dos raios. Ela estendeu um dos raios do ângulo de 60 graus.

Assistente principal: E agora? Este ângulo é menor ou maior do que 90 graus?

Kadeejah: É maior. Michelle e Adam: Não, ainda é menor.

Professor: Como é que podemos descobrir qual é maior? Como é que medimos um ângulo?

Sonia: Nós mediríamos com uma régua em centímetros. [Dei à Sonja uma régua em centímetros]. Sonia, [ela levou a régua e colocou-a no ângulo de 90 graus]. São 44 centímetros.

Adam: Deviam ser noventa.

Kathie: Não aí. Meça as linhas.

Sonja: [ela mediu as "linhas", usando a régua]. São 80 centímetros.

Peter: Oh, não utilize uma régua. Penso que se deve utilizar aquela coisa curva. Parece metade de um círculo.

Michelle: Sim, um protector.

Professor: [Eu coloquei uma ardósia no tapete]. É nisso que estás a pensar? Como é que podes medir com isso? [Michelle passou para o centro do tapete, pegou na ardósia e colocou-a no ângulo, virando-a em várias formas diferentes. O Peter juntou-se à Michelle no centro do tapete].

Kathie: Ah, sim. Lembro-me que a sra. Daniels mostrou-nos como utilizar isso uma vez.

Michelle e Peter: [Eles colocaram a ardósia no ângulo para que pudesse mostrar que o ângulo era de 60 graus]. Vejam, são 90 graus.

Sonja: Mas aquele [outro] ainda é maior.

Adam: O que queres dizer, é maior?

Sonja: [Ela pegou na régua e aproximou-a ao terceiro lado para fazer um triângulo]. Vejam, é maior.

Michelle: [Ela colocou a ardósia no ângulo]. Vejam, são 60 graus. [Ela colocou um protractor de carteira no ângulo]. Vejam, continua a ser 60 graus. As linhas podiam continuar por milhas, mas continuam a ser 60 graus. O canto não muda. Estão a ver?

Sonja: Não. Ainda parece maior.

Adam: [Ele movimentou o papel e a ardósia em frente do lugar onde estava ajoelhado. Colocou a ardósia no ângulo]. O que diz isso? [Ele apontou para a ardósia].

Sonja: Sessenta.

Adam: Exacto! [Ele colocou a régua no papel para formar o terceiro lado, mas não tocou na ardósia.]. Vejam, ainda diz sessenta. Estão a ver como não mudou?

Sonja: Não.

Adam: Mudou?

Sonja: Sim.

Adam: [Ele deslizou os materiais para a Sonja]. Então mostre-me como é que mudou.

Nesta conversa, nós ficamos satisfeitos pelo facto de eles terem sido capazes de "se envolver no trabalho". Os alunos começaram a desafiar-se um ao outro, fazendo perguntas e dando explicações. Estes alunos começaram a conversar um com o outro, em vez de conversarem com os adultos que estavam na turma:

REFLEXÕES SOBRE ESTE PROCESSO: Descobri que estava excitado, mas cansado, depois dessas conversas. Se quisesse facilitar as conversas e deixar os alunos ir onde nós queríamos, devia ouvir o que eles realmente estavam a dizer, inferir o significado matemático que tinham construído nessa altura e formular uma pergunta ou encorajar os outros alunos a fazerem perguntas. Precisava de uma "perspectiva bivaco". (ABL 1993).

À medida em que eu ia revendo o processo, o meu entendimento próprio da matemática estava a, rapidamente, vir ao de leve. Era inevitável. Eu não podia compreender as conexões que esses alunos tinham feito sem pensar nos termos da minha própria compreensão matemática.

O meu papel como professor foi redefinido no processo. Embora fosse responsável por encontrar uma tarefa matemática rica, tinha que trabalhar para renegociar a cultura da turma da assunção de vezes ao engajamento na conversa matemática. Acreditava que tinha cumprido com esta tarefa quando já não estava envolvido no diálogo.

CONCLUSÕES: O engajamento no diálogo matemático é um processo evolutivo. O tom e a qualidade do nosso diálogo mudam na medida em que nós mudamos e aprendemos dos alunos e das nossas próprias interacções. As conversas matemáticas proporcionam um instrumento para medir o crescimento no entendimento, permitem os participantes aprender sobre as construções matemáticas dos outros, e dão aos participantes oportunidades para reflectirem na sua própria compreensão matemática. A selecção de tarefas apropriadas e técnicas de colocação de perguntas utilizadas pelo professor, são vitais para esta abordagem de diálogo. Além disso o estabelecimento físico da turma afecta a qualidade dos diálogos. Nas conversas descritas neste artigo, o posicionamento dos alunos por forma a que possam ver-se uns aos outros, encorajaram diálogos mais ricos entre eles e aumentaram a probabilidade de o professor tornar-se membro, ao invés de líder, de uma comunidade matemática. Os alunos dessa comunidade começaram a formar um relacionamento colegial, pelo qual desafiavam, criavam modelos e reconstruíam as ideias uns dos outros.

MATERIAL ADICIONAL:
FIGURA 1: "Um ângulo recto" (a) "Um ângulo esquerdo" (b) "Não um ângulo" (c).
FIGURA 2: Trinta e seis cubos na face frontal (a) Trinta e seis cubos na face "direita" (b) Cubos contados duas vezes.
FIGURA 3: Subtracção integral do Walter - passo 1 (a) Subtracção integral do Walter - passo (b).

REFERÊNCIAS:
Ball, Deborah L. "Halves, Pieces, and Twoths: Constructing Representational Contexts in Teaching Fractions". In Rational Numbers: An Integration of Research, edited by Thomas P. Carpenter, Elizabeth Fennema, and Thomas A. Romberg, 157-96. Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaun Associates, 1993.

Cobb, Paul, Terry Wood, Erna Yackel, John Nicholls, Grayson Wheatley, Beatriz Trigatti, and Marcella Perlwits. "Assessment of a Problem-Centered Second-Grade Mathematics Project". Journal for Research in Mathematics Education 22 (January 1991): 3-29.

Driver, Rosalind, H. Asoko, J. Leach, E. Mortimer, and Philip Scott. "Constructing Scientific Knowledge in the Classroom". Educational Researcher 23 (October 1994): 5-12.

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, Va.: NCTM, 1989.

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). Professional Standards for School Mathematics Reston, Va.: NCTM, 1991.

AUTORA: Sandra L. Atkins.

Sandy Atkins, satkins@pegasus.cc.ucf.edu, ensina a matemática na Universidade de Florida Central, Orlando, FL 32816-1250.

FONTE: Ensinar Matemática às Crianças 5 no 5 289-95 Ja'99. O publicador da revista é detentor dos direitos de propriedade deste artigo que é produzido com autorização. Mais reprodução deste artigo em violação aos direitos do autor, é proibida.