Inerentes no trabalho cooperativo estão os processos valorizados, como esclarecimento, comparação e defesa de ideias, bem como as habilidades sociais de ouvir, comprometer e chegar a consenso (Rees 1990; Yackel, Cobb e Wood 1991). O trabalho do grupo colaborativo proporciona diversas oportunidades para engajar os alunos em discussão de fundo (NCTM 1989, 1991). Isto contribui para um sentido de comunidade matemática como recomendado no Everybody Counts (Conselho Nacional de Investigação de 1990).

K--O QUE EU SEI: Neste passo, os leitores reflectem e discutem o que já sabem sobre um tópico. O professor alista as suas respostas e ajuda os alunos a categorizarem as informações de que já estão cientes. Em seguida, o professor ajuda os alunos a identificarem qualquer coisa, tais como conceitos erróneo possíveis que eles queiram verificar ou esclarecer a medida em que vão avançando. Para a solução de problemas matemáticos em grupo, o passo "K" envolve a leitura, o parafraseamento e a discussão do problema por parte dos alunos, para ver que informação é fornecida. Pode também incluir outras estratégias tais como encenar o problema, desenhar imagens, ou um mapa para que os alunos possam começar a compreender o problema e reconhecer o que já sabem.

W-- O QUE EU QUERO DESCOBRIR: Com a orientação do professor, os alunos identificam áreas sobre as quais eles querem aprender. Muito frequentemente eles colocam questões que ainda não foram respondidas no texto de exposição - ou levantam tópicos que ainda não foram discutidos - e devem consultar outras fontes para descobrir as suas respostas e informações. Para a solução de problemas de matemática, este passo pode simplesmente envolver um acordo a nível do grupo sobre o que é que está a ser perguntado - qual é a pergunta e o que é que significa? O passo "o que eu quero descobrir" pode também envolver os alunos na decisão de um plano para resolver o problema. Eles podem decidir que necessitam de descobrir dados e, em seguida, nas fontes desses dados. Talvez necessitarão de advinhar ou conversar com os outros, fazer medições, experiências ou consultar livros de referência.

L -- O QUE APRENDI: O "passo que aprendi" de Ogle envolve os alunos na leitura de textos silencioso e no registo das suas constatações. As suas respostas podem ser partilhadas de várias formas: Por exemplo, podem escrever sobre os factos que eles aprenderam e ler as suas respostas escritas perante os seus colegas de turma. Este passo ajuda os aprendizes a refinarem e a expandirem o seu pensamento sobre os processos de leitura e escrita.

Na solução de problemas de matemática, o passo "LL" requer que os alunos afirmem que defendem as suas respostas e que descrevam como é que trabalharam em torno do problema. Eles podem verificar o seu trabalho deixando que os outros os verifiquem, ou falarem sobre o raciocínio das suas respostas. Os grupos são também encorajados a reflectirem sobre, e escreverem em relação a, quaisquer informações gerais que poderão ter aprendido. Por exemplo, os alunos num grupo podem escrever e conversar sobre como desenhar uma imagem os ajudou e como utilizaram a estratégia de advinha e verificação.

Aos passos de Ogle, nos acrescentamos um passo "D". "O que fiz". Membros do grupo utilizaram uma folha de registo a medida em que iam trabalhando nos problemas em conjunto. Os passos "O que Sei" e "O Que Quero Saber" normalmente ajudou-os a compreenderem o problema, planificarem como resolvê-lo e avaliarem as suas respostas. As suas narrativas e notas do "O Que Fiz" ajudaram os alunos a pensar de forma consciente sobre os planos e os processos que aplicaram à medida em que iam trabalhando em conjunto sobre os problemas. O nosso passo "D" ficou em terceiro lugar, precedendo o "L", ou "O Que Aprendi".

RESULTADOS: Nós utilizamos pré e pós-testes de solução de problemas de matemática para os alunos nas duas séries de turmas. Os testes incluíram versões de dois problemas de raciocínio -- um problema de dois factores e um problema especial (fig.6). As crianças trabalharam em grupos utilizando manipulativos que eles quisessem. Nós classificamos o trabalho dos grupos utilizando a escala de classificação holísitca de Charles, Lester e O'Daffer's (1986) (fig.7). Os alunos que utilizavam a aprendizagem cooperativa nas turmas, marcaram pontos substancialmente mais elevados do que os de outras turmas. Mas também comparamos os exemplos de solução de problemas de alunos pertencentes a grupos que utilizavam a aprendizagem cooperativa na matemática com exemplos dos grupos que não o faziam. Nós vimos várias diferenças qualitativas. No geral, as respostas de alunos de aprendizagem cooperativa eram mais longas e mais detalhadas do que as dos outros alunos. Talvez os grupos acostumados a trabalhar em conjunto fossem capazes de gerar descrições mais completas do seu raciocínio do que aqueles não trabalhavam nesta base de forma regular. Em termos gerais, os alunos de grupos cooperativos faziam mapas mais detalhados; em relação ao problema especial, estes alunos eram mais susceptíveis na utilização de desenhos com mais de uma camada, do que os alunos que faziam menos trabalho de grupo.

Apoios de evidência de anedotas aumentavam atitudes positivas para alunos que utilizavam regularmente a aprendizagem cooperativa com a técnica K-W-D-L- para a solução de problemas da matemática. As crianças diziam que gostavam de trabalhar em conjunto. Elas manifestavam crescente confiança, interesse e excitação. Ouvimos declarações tais como "vamos fazer mais!" e "vamos conseguir! Podemos fazer qualquer coisa!" Os alunos pareciam estar orgulhosos quanto às suas habilidades crescentes para resolver problemas, particularmente os de raciocínio de dois factores. À medida em que iam trabalhando nesses problemas, as crianças empregavam várias estratégias, incluindo o desenho de imagens (fig.8), fazendo mapas para reflectir os dois factores (fig.9) e utilizando a advinha e verificação. À medida em que trabalhavam em grupo, os alunos sempre se lembravam de verificar, eles próprios, para garantir que as suas respostas se coadunassem com os requisitos dos problemas. As crianças eram, de forma geral, cooperativas e entusiásticas no seu trabalho. Elas aprendiam a chegar a consensos, sempre que necessário. Muitas vezes, os alunos que não concordavam com a opinião dos seus grupos, eram encorajados a escreverem os seus próprios pareceres e anexá-los aos relatórios dos grupos.

Os professores no PDS permanecem entusiásticos quanto à aprendizagem cooperativa da matemática. Eles realçam vantagens tais como um envolvimento individual maior e assunção de responsabilidade por parte dos alunos, mais no comportamento de tarefas e no desenvolvimento do orgulho e espírito de grupo. Os professores afirmam que a utilização de grupos torna as lições de matemática mais interessantes, tanto para os alunos, como para eles próprio. Eles utilizam grupos cooperativos para actividades tais como jogos e trabalhos de casa de matemática, bem como para a solução de problemas. Por vezes, os professores oferecem certificados para agradar os grupos que trabalham mais efectivamente. Eles observam que os alunos trabalham bem com ou sem reconhecimentos.

CONCLUSÃO: Fazer com que os alunos escrevam sobre as suas experiências na solução de problemas de matemática provou ser válido; o processo liga as habilidades de matemática e comunicação e estimula o raciocínio dos alunos. A utilização de K-W-D-L, como um quadro para fazer com que os grupos se iniciem na organização e documentação do seu trabalho, tem provado ser viável e efectivo. Outros professores podem escolher implementar a técnica para ajudar os alunos a considerarem os processos que utilizam à medida em que resolvem os problemas em conjunto. Os educadores podem optar por querer partilhar o processo K-W-D-L com pais e outros membros da família como uma estrutura para ajudar as suas crianças a desenvolverem habilidades de estudo e para aumentarem a sua autonomia académica.

Material Acrescentado: Jean Shaw, Martha Chambless e Debby Chessin são colegas na Universidade de Mississipi, MS 38677. Vernetta Price e Gayle Beardain ensinam na Escola Intermédia no Sul de Panola, Batesville, MS 38606. FIGURA 1 Modelo de Problemas Cooperativos das Actividades de Recursos de Ensino (Haubner, Rathmell e Super 1992) FIGURA 2 Actividade de Aprendizagem Cooperativa adaptada da AIMS (1987) FIGURA 8 Resultados da utilização da estratégia de desenho de imagens FIGURA 9 Resultados para problemas de moedas a partir da utilização de uma estratégia de mapas.

BIBLIOGRAFIA
AIMS Education Foundation. Primarily Bears. Fresno, Callif: AIMS Educational Foundation, 1987.

American Association for the Advancement of Science (AAAS). Benchmarks for Science Literacy. New York: Oxford University Press, 1993.

American Association for the Advancement of Science (AAAS). Project 2061. Washington, D.C.: AAAS, 1989.

Augustine, Dianne K., Kristin D. Gruber, and Lynda R. Harrison. "Cooperation Works!" Educational Leadership 47 (December -- January 1990): 4-7.

Charles, Randall, Frank Lester, and Phares O'Daffer. How to Evaluate Progress in Problem Solving. Reston, Va.: National Council of Teachers of Mathematics, 1968.

Greenes, Carole, Linda Schulman, and Rika Spungin. "Stimulations Communication in Mathematics". Arithmetic Teacher 40 (October 1992): 78-82.

Haubner, Mary Ann, Edward Rathmell, and Douglas Super. Cooperative Learning Resource Activities. Boston: Houghton Mifflin Co., 1992.

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Ogle, Donna. "K-W-L: A Teaching Model That Develops Active Reading of Expository Text". Reading Teacher 39 (February 1986): 564-70

Rees, Rebecca D. "Station Break: A Mathematics Game Using Cooperative Learning and Role Playing". Arithmetic Teacher 37 (April 1990): 8-12.

Slavin, Robert E. "Synthesis of Research on Cooperative Learning". Educational Leadership 48 (February 1991): 71-87.

Yackel, Erna, Paul Cobb e Terry Wood. "Small-Group Interactions as a Source of Learning Opportunities in Second-Grade Mathematics". Journal for Research in Mathematics Education 22 (November 1991): 390-408.

FIGURA 3: Problema gerado por professor: O Kenny alimenta alguns dos animais da sua fazenda. A sua mãe pergunta: "Alimentaste todos eles?" O Kenny tenta aldrabar a mãe dizendo, "contei catorze cabeças dos animais que alimentei. Contei 32 pés". A mãe do Kenny pensou um momento. Ela sabia que Kenny alimentou algumas galinhas e alguns cavalos. Por último ela descobriu. Pode também descobrir? Releia o que o Kenny disse. Veja se pode dizer quantos cavalos e, agora, quantas galinhas é que o Kenny alimentou. Demonstre o seu trabalho.

FIGURA 4: Problema aberto e de vida quotidiana: Quer comprar alguns produtos para as últimas quatro pessoas para as últimas refeições. Deve incluir cada grupo de alimentos em cada refeição. Faça uso de publicidade de supermercados a partir do jornal. Planifique o que deverá comprar para permanecer dentro do orçamento dos 20 $EU. Calcule os custos dos artigos que pretende. Discuta como é que sabe que o seu total de aproximadamente 20 $EU. Em seguida, utilize uma calculadora para descobrir o custo real. Utilize o quadro de taxa para encontrar e acrescente a taxa que deverá pagar.

FIGURA 5: Processo modificado de K-W-L- K O que nós sabemos. W O que nós sabemos. D O que nós fizemos. L O que nós aprendemos.

FIGURA 6: Artigos tipo para testes.
1. La Toya tem 65 c no seu bolso. Ela tem um total de 11 moedas. As moedas são centavos e dimes. Quantas de cada moeda é que ela possui? Imagine-as e demonstre o seu trabalho. Diga como é que obteve a resposta. Diga como é que pensa que tem razão.

2. O sr. Black está a fazer uma exposição das canecas do Dia da Mãe na loja Panola Variety. Ele deve arranjar 36 canecas As canecas estão empacotadas em contentores de presentes, tal como demonstrado. Desenhe 2 ou mais exposições que o sr. Black pode utilizar. Utilize os cubos ou outros manipulativos se desejar. Faça os seus desenhos. Diga Como resolveu o seu problema.

FIGURA 7: Escala de Ponto de Marcação Holística Focada: 0 PONTOS. Estes papeis têm uma das seguintes características:
• São limpas.
• Os dados no problema podem ser simplesmente copiados, mas nada é feito com os dados, ou há um trabalho, mas sem um aparente entendimento do problema.
• Há uma resposta incorrecta e nenhum outro trabalho é demonstrado.

1 PONTO: Estes papeis têm uma das seguintes características:
• Há um início para descobrir a solução para além de apenas copiar dados que reflectem algum entendimento, mas a abordagem utilizada não podia levar a uma solução correcta.
• Uma estratégia inapropriada é iniciada mas não levada a cabo, e não há qualquer evidência de que o aluno terá passado para uma outra estratégia. Parece que o aluno tentou uma abordagem que não funcionou e, por conseguinte, desistiu.
• O aluno tentou chegar a uma sub-meta, mas não o conseguiu.

2 PONTOS: Estes papeis têm uma das seguintes características:
• O aluno utilizou uma estratégia inapropriada e obteve uma resposta errada, mas o trabalho mostrou algum entendimento do problema.
• Uma estratégia apropriada foi utilizada, mas -- a) não foi levada a cabo suficientemente longe para chegar a uma solução (por exemplo, haviam apenas dois lançamentos numa lista organizada); b) foi implementada de forma incorrecta e, deste modo, levou à não resposta ou uma resposta incorrecta.

3 PONTOS: Estes papeis têm uma das seguintes características:
• O aluno implementou uma estratégia de solução que poderia levar à solução correcta, mas ele entendeu mal parte do problema, ou ignorou uma condição no problema.
• Estratégias apropriadas de solução foram devidamente aplicadas mas - - a) o aluno respondeu ao problema de forma incorrecta por uma razão não aparente, b) a parte numérica correcta da resposta foi dada e a resposta não foi marcada, ou foi marcada incorrectamente; c) nenhuma resposta é dada.
• A resposta correcta foi dada, e há alguma evidência de que estratégias apropriadas de solução foram seleccionadas. Todavia, a implementação das estratégias não foi completamente clara.

4 PONTOS: Estes papeis têm uma das seguintes características:
• O aluno cometeu um erro ao levar a cabo a sua estratégia apropriada de solução. Porém, este erro não reflecte um mal entendido nem do problema, nem de como implementar a estratégia mas, ao invés, parece ser um erro de cópia ou de conceptualização.
• Estratégias apropriadas foram seleccionadas e implementadas. A resposta correcta foi dada em termos dos dados no problema. (de Charles, Lester e O'Daffer [1986,35]).

FONTE: Ensinar Matemática às Crianças v3 p482 - 6 de maio de 1997. Reproduzido com a permissão do Ensino de Matemática a Crianças, direitos do autor 1997, pelo Conselho Nacional de Professores de Matemática. Todos os Direitos Reservados.