Não me lembro de alguma vez ter levado mais de cerca de cinco minutos em qualquer problema que dava aos meus alunos para resolverem. Imaginem o meu desconforto e confusão quando primeiro li a passagem de uma edição de Padrões de Currículo e Avaliação sobre a necessidade de os alunos despenderem horas, dias e mesmo semanas, num único problema. Tentei pensar em problemas matemáticos que podia fazer com que os meus alunos continuassem a pensar e interessados durante horas, mas estava inconfortavelmente sem êxito nesta tentativa.

Comecei a ler artigos em jornais de ensino de matemática (o Professor da Aritmética, Ensinar Matemática a Crianças, Ensino da Matemática no Nível Médio e o Professor da Matemática) e participei em reuniões locais de desenvolvimento profissional na busca de uma nova opinião da solução de problemas. Numa apresentação sobre a solução de problemas, a oradora disse que iria partilhar um grande problema da matemática que podia ser utilizado para alunos de todas as idades. Ela colocou este "problema" no retroprojector para nós lermos:

A Escola Elmwood pegou fogo hoje. Depois de ter lido este "problema" fiquei desiludido e confuso. Olhei em volta da sala e verifiquei que os outros estavam a conversar sobre este problema. Depois de discutir a minha reacção com aqueles que se encontravam à minha volta, soube que vários outros professores ensinavam da mesma forma que eu. Mas à medida em que nós íamos discutindo, comecei a obter um parecer diferente da solução de problemas. Um indivíduo no nosso grupo declarou: "Foi uma experiência da ciência que explodiu, causando o fogo". Uma outra pessoa afirmou, "O sol causou o fogo. Quando estava a raiar através da janela de uma turma, encontrou-se com um vidro magnificente, que tinha sido deixado num volume de jornais velhos". Durante esta apresentação, o professor ajudou-nos a ver como é que a nossa criatividade, o nosso raciocínio e o nosso conhecimento anterior da matemática podiam ser utilizados no processo da solução de problemas para facilitar a nossa criação de matemática significativa para nós próprios. Saí com algumas boas ideias sobre como proceder com a solução de problemas nas minhas turmas. Também recolhi bons problemas dessas fontes e decidi praticar paciência com os meus alunos na solução de problemas.

À medida em que ía planificando durante o verão, prometi para mim mesmo integrar a solução de problemas em todas as áreas do currículo da matemática. Armado com estes problemas, que tinha recolhido e uma firme decisão baseada na minha reflexão do verão, comecei o novo ano com a solução de problemas constituindo o meu foco. O que ocorreu durante o primeiro mês das aulas foi muito para além do agradável.

Durante as primeiras semanas do ano lectivo, os meus alunos queriam que lhes mostrasse como resolver todos os problemas. Além disso, porque não lhes tinha dado dicas ou estratégias sobre como resolver os problemas, eles acreditavam que eu não estava a fazer o meu trabalho -- como também acreditavam alguns dos seus pais! Soube que vários dos meus alunos não tinham quaisquer experiências reais na solução dos problemas. Como os meus alunos e eu lutamos com a solução de problemas ao longo dos anos, desenvolvi algumas técnicas estratégicas para os ajudar a tornarem-se eficazes na solução de problemas.

INÍCIO: A MINHA PRIMEIRA SÉRIE DE OBJECTIVOS FOCA EM AJUDAR os meus alunos a aprenderem quais são os instrumentos que são disponíveis para os problemas matemáticos que enfrentam. Introduzo uma ampla variedade de problemas para facilitar a utilização de estratégias múltiplas, manipulativos e calculadoras. À medida em que os meus alunos se tornavam familiares com esses instrumentos, enfatizava a criatividade e a inovação na solução de problemas matemáticos. No início das nossas experiências de solução de problemas, constatei que alguns alunos experimentavam ansiedade e frustração, o que acredito que ocorre porque não existo a favor dos seus pedidos para lhes mostrar "como fazer". Tento ter compaixão, mas esforço-me por divorciá-los deste tipo de comportamento. Constato que é difícil criar a atmosfera desejada para a solução de problemas numa turma, sem em primeiro lugar mudar as atitudes dos alunos e as suas convicções sobre a matemática e a solução de problemas na matéria. Esta mudança de atitude começa a ocorrer na minha turma quando demonstro aos meus alunos que valorizo a solução de problemas e que a paciência e a persistência são necessárias para se tornar numa pessoa capaz de resolver problemas com êxito. Bons problemas são também essenciais no processo da mudança das convicções dos alunos quanto à solução de problemas matemáticos.

No princípio do ano, começo com um problema que seja fácil de compreender e que possa ser acordado de várias formas. Nós chamamos a esse tipo de problemas que gerou discussões produtivas nas minhas aulas de "problema do armazém de sapatos".

Uma pessoa vai a um armazém de sapatos e compra um par de sapatos por 5 $EU e paga com uma nota falsa de 20 $EU. O dono do armazém de sapatos não se apercebe disso. Não tendo trocos para a nota dos 20 $, ele corre para o supermercado ao lado. O dono do supermercado dá ao proprietário do armazém de sapatos quatro notas de 5 $ para os 20 $ falsos. O proprietário do armazém de sapatos volta ao seu armazém e dá ao homem os sapatos e o troco de 15 $. Mais tarde o dono do supermercado volta ao proprietário do armazém de sapatos com um agente do FBI e informa-o que a nota dos 20 $ era falsa. Assim, o proprietário do armazém de sapatos entrega ao dono do supermercado 20 $, e o FBI conserva consigo a nota falsa. Quanto é que o proprietário do armazém de sapatos perdeu? (adaptado de Sobel e Matelesky 1988).

Eu recomendei que os meus alunos lessem um problema de várias formas diferentes. Primeiro li o problema em voz alta para o grupo inteiro. Em seguida, li-o outra vez e fiz com que certos grupos lessem frases alternadas para ajudar os alunos a interpretarem o problema de formas diversas. Este passo leva a uma actividade de reflexão pela qual os alunos oferecem o que eles acreditam ser informação importante no problema. Nós não desacreditamos quaisquer ideias neste momento. Simplesmente alistamos eventuais informações relevantes e irrelevantes. Por exemplo, os meus alunos normalmente alistavam todos os participantes envolvidos, a ordem os acontecimentos, os valores do dinheiro e qualquer outras informação que acreditavam ser importante no problema do armazém de sapatos. Esta parte da actividade tem como objectivo gerar a direcção para trabalho de grupos pequenos que irá seguir-se.

Depois de alguns minutos de reflexão, os alunos trabalham em pequenos grupos de três ou quatro para gerarem estratégias que poderão utilizar na solução de problemas. Eles levam a cabo os seus métodos até que os membros do grupo estejam satisfeitos com a solução ou até que todos concordem que nenhuma solução é possível. À medida em que eles trabalham, eu faço uma rotação entre os grupos e coloco perguntas para estimular o seu pensamento e a sua comunicação. Quando estão a tentar a resolver este problema nos seus pequenos grupos, é mais importante para mim que os alunos troquem opiniões o seu próprio pensamento, do que ele se conformarem com o pensamento de qualquer outro elemento. Todavia, cada aluno deve, a certa altura, acordar na abordagem mais convincente e estar preparado para defender a sua conclusão perante a turma inteira.

Depois de os alunos terem tido tempo suficiente para acordarem numa interpretação, num método e numa solução ao problema, os grupos voltam a reunir-se em apenas um grande grupo para trocarem os seus resultados. Aqui, normalmente têm lugar discussões perspicazes. À medida em que eles vão partilhando, eu faço seguimento dos tipos das estratégias utilizadas pelos grupos e suas soluções, e coloco perguntas que requerem que os alunos reconsiderem as suas soluções ou os seus métodos para a solução do problema. Para o problema do armazém de sapatos, os alunos tentaram apresentar tipicamente um argumento "de sequência lógica" ou um argumento que continha informação visua -- fazendo gestos, desenhos, diagramas e etc. -- numa tentativa para convencer os restantes membros da turma. Um típico argumento entre alunos seguiu-se: "O proprietário do armazém de sapatos dá ao homem 15 dólares de troco e os sapatos, depois ele deve dar de volta 20 $ ao dono do supermercado e a nota falsa ao FBI. Consequentemente, está a perder 15 $ + 20 $, ou seja 35 $, mais os sapatos". À medida em que estes argumentos iam sendo partilhados, os alunos utilizavam frequentemente imagens ou acções para ilustrarem o "fluxo" de dinheiro nas suas soluções.

Uma das razões porque eu gosto do problema, é o desacordo significativo que se cria entre os alunos. À medida em que os alunos tentam convencer os seus colegas da lógica das suas soluções, eu reafirmo esses argumentos o mais próximos possíveis, muitas vezes com alguma confusão na minha voz. Quando utilizo esta abordagem, constato que vários alunos na turma abanam a cabeça de acordo com a minha confusão expressa. A "acção" mais difícil do professor, para mim, durante este período do nosso desenvolvimento em conjunto, não é responder as perguntas dos alunos. Os meus alunos frequentemente olham para mim a fim de verificarem as suas respostas ou para resolverem os seus desacordos. Eu pensava que respondendo as perguntas dos alunos estava a ajudá-los. Descobri que esta ajuda era apenas superficial e passageira.

Ao invés, colocando perguntas que mantivessem os meus alunos focados e pensando sobre as ideias matemáticas centrais, eu dava-lhes o ímpeto que precisavam para desenvolver a confiança nas suas próprias habilidades para pensar matematicamente. Faço perguntas como:

"Que solução faz mais sentido para si depois de considerar esses argumento? Esses argumentos são convincentes para si? Como é que poderia defender o seu pensamento perante os que não concordam consigo?" À medida em que os meus alunos se vão tornando mais independentes e criativos, faço-lhes pergunta que os encorajam a investigarem os seus próprios problemas e suas ideias na matemática, por exemplo "Como é que pode aplicar o que acaba de descobrir neste problema para resolver um problema conexo, se, por exemplo, uma parte do problema original tivesse sido mudada de certa? Como é que a alteração de partes deste problema afectam o seu processo de solução de problemas e a solução?" Eu posso notar quando é que os meus alunos estão a fazer progresso, porque eles começam a perguntar-me a mim esse tipo de questões, antes de eu colocá-las a eles.

Esperar que os alunos verifiquem uma solução continua a ser um certo desconforto para mim, mas contribuições de alunos observadores reflectindo sobre a solução apresentada ocorrem espontaneamente. Quando eu lhes dei tempo para responder numa aula, um aluno sugeriu, do canto da sala, que "os 20 $ dados ao homem do supermercado pelo proprietário do armazém de sapatos, não tinham sido perdidos". A sala então irrompeu em conversas de todos os grupos, até que um outro aluno gritou: "então vamos encenar". Depois de tais encenações e discussões mais aprofundadas, reviu todos os argumentos anteriores colocando novas perguntas para todos os meus alunos considerarem, tais como "Por quanto é que o proprietário do armazém de sapatos ficou prejudicado depois de ter regressado do supermercado e de ter dado ao homem o seu troco e os sapatos?" Ao rever o argumento dos alunos e ao questioná-los, afirmo a viabilidade das suas técnicas e encorajo-os a pensarem sobre diferentes formas de encarar o problema.

Este método ajuda não só aqueles que estão confusos com um problema ou pela linha de raciocínio de uma outra pessoa, mas também aos apresentadores no processo de reconsideração do seu pensamento. No processo da procura de uma técnica alternativa ou uma perspectiva para o problema, os meus alunos ou saem mais confiantes no seu pensamento original, ou mudam para uma perspectiva mais convincente.

Durante estas experiências iniciais com a solução de problemas, é importante que os meus alunos encarem os problemas de várias perspectivas diferentes e apresentem e ouçam argumentos convincentes. Depois de argumentos iniciais ao problema do armazém de sapatos terem sido apresentados e revistos, apelo para quaisquer novas soluções ou argumentos diferentes ainda não apresentados. Pedindo que haja mais discussão, pretendo que os meus alunos compreendam que a questão real e importante na solução de problemas é a consideração de uma variedade de possíveis estratégias na solução de problemas. Além disso, os alunos devem saber que ser um bom solucionador de problemas requer que cada pessoa por si só decide se o seu pensamento sobre um determinado problema é correcto. Este requisito faz com que eu seja relutante a contribuir com os meus pontos de vista pessoais sobre cada problema, até que esteja convencido de que eles não irão, no seu conjunto, influenciar o pensamento dos alunos ou sua confiança para fazer a matemática. A regra que eu utilizo para saber quando responder com o meu próprio ponto de vista durante as nossas actividades de solução de problemas, envolve escutar os comentários dos meus alunos. Se eles ouvem regularmente e discutem abertamente as ideias uns dos outros na turma, e oferecem argumentos para apoiar ou refutar essas ideias, começarei a oferecer o meu pensamento sobre um particular problema. Se depois de eu oferecer o meu pensamento sobre um problema, os alunos me responderem da mesma forma que responderam aos seus colegas, eu continuarei a contribuir com as minhas ideias. Esse tipo de resposta indica que a confiança dos meus alunos na solução da sua matemática é sólida. Eu constatei que o tempo que despendo a fazer essas actividades iniciais diferem com as experiências e idades anteriores dos meus alunos e com a minha capacidade de comunicar essas novas metas de solução de problemas de forma consistente.

Eventualmente, os meus alunos apercebem-se que estou realmente interessado no processo de solução de problemas. Infelizmente, eles também começam a acreditar que tudo que dizem ou fazem está correcto e que as respostas aos problemas matemáticos não são importantes ou necessários. É frequente, durante esse tempo, os meus alunos dizerem: "ele não está a dizer que eu esteja errado, eu devo estar certo! Desde que eu escreva qualquer coisa, ele vai me dar todo o crédito". Piaget acreditava que todos os alunos iriam eventualmente chegar à verdade de ideias matemáticas, se argumentarem tempo suficientemente longo, mas aí está o problema (Inhelder e Piaget 1958). Se eu disser aos meus alunos que as suas respostas estão erradas, transformo-me no seu poderio matemático. Se não lhes digo que algumas das suas respostas são erradas, parecem ficar satisfeitos com as suas primeiras tentativas.

Constato que os meus alunos seguem os problemas com mais vigor quando exijo que criem argumentos para comunicar e convencer os outros em como o seu pensamento e suas soluções são correctos. Organizo cada grupo no sentido de apresentar a sua versão de um problema à turma; Em seguida, faço perguntas como "Alguém tem uma forma diferente de pensar sobre o mesmo problema?" Quando os meus alunos me pedem para lhes dizer que estratégia é correcta, eu pergunto-lhes "que resposta é que pensa que é? Porque é que acredita que essa solução ou estratégia é correcta?" Essa resposta não satisfaz alguns alunos das minhas turmas à partida, e eles insistem que eu verifique a resposta correcta. Eu digo-lhes que se tiverem quaisquer dúvidas sobre a solução e o método que utilizaram, o seu processo de solução de problemas não está completo. Qualquer pessoa que ainda tenha dúvidas, deve encontrar um outro parecer do problema e da solução.

Continuam dúvidas com o problema do armazém de sapatos. Depois de muita discussão e algum encorajamento para procurar uma outra forma de encarar este problema, um grupo apresentou um problema mais simples e uma abordagem rectro-trabalho. Este grupo afirmou, "Em vez de pensarmos sobre quanto dinheiro que o proprietário do armazém de sapatos perdeu, consideremos quem é que no fim ficou com o dinheiro e qual é o montante. A partir disto, podemos dizer quanto é que o proprietário do armazém de sapatos perdeu. O homem do supermercado deu 20 $ e obteve esse dinheiro de volta, portanto ele não ganhou.

O agente do FBI apenas tem a nota falsa. A única outra pessoa no armazém (além do proprietário), é a pessoa que queria "comprar" os sapatos. Ela saiu do armazém com os sapatos e 15 dólares. Estas apresentações variadas, discussões e reflexões ajudam-nos a compreender a essência da solução de problemas.

A minha meta é atingida quando os meus alunos e eu inter-agimos como iguais no processo de solução de problemas. Quando esta situação ocorrer, eu sou visto como um dos vários membros da nossa comunidade que vão resolver os problemas. As minhas sugestões e ideias são valiosas, mas não mais do que as de quaisquer outros membros da nossa comunidade. O meu papel é o de introduzir problemas e perguntas que estimulam o pensamento matemático. Eu ganho no estímulo do pensamento, se os meus alunos fizerem perguntas que eu não tinha anteriormente considerado. Por exemplo, dei aos meus alunos um problema sobre descobrir a área de uma série de triângulos exósceles. Durante o processo da solução deste problema, um grupo conjecturou que o produto de uma perna com metade da base era sempre maior do que a área destes triângulos. Eu não tinha anteriormente encontrado, ou não me podia lembrar desta conjectura. Primeiro, senti a necessidade de ser capaz de verificar esta conjectura imediatamente mas, ao invés, concebi perguntas que ajudaram os alunos e a mim próprio a considerar cautelosamente o impacto que esta conjectura podia ter noutras coisas que nós conhecemos sobre a área e os triângulos exósceles: "Como é que o triângulo exóscele é especial? Como é que a altura de um triângulo exóscele se compara com qualquer uma das suas pernas? Como é que o cálculo da área de um triângulo exóscele se relaciona ao comprimento dos seus lados?".

Quando os meus alunos estão confiantes nas suas habilidades na solução de problemas, eles automaticamente criam argumentos matemáticos para apoiar ou refutar hipóteses e compreendem a necessidade de partilhar esses argumentos com a turma inteira. Evidentemente, esta fase não ocorre de dia para noite. Em primeiro lugar, o professor deve estar interessado na participação do processo da solução de problemas juntamente com os alunos e, em seguida, é preciso tempo, persistência e bons problemas.

O facto de ter encontrado alguns bons problemas para utilizar nas minhas turmas, ajudou-me a começar a mudar a forma como eu ensinava e fazia inter-acção com os meus alunos. Incluo alguns dos meus problemas favoritos na esperança de que eles possam ser úteis.

1. Se dobrar uma folha de papel em metade uma vez, o resultado é duas metades da folha de papel. Se dobrar as metades da folha de papel mais uma vez, terá agora quatro metades. Se poder continuar a dobrar esta folha de papel 20 vezes, quão volumoso será? Se se sentar no soalho, que altura é que atingiria?
2. Joe e Esther estavam a fazer os mesmos salários quando o chefe entrou e disse ao Joe que estava a ter um desconto de 10% no seu pagamento. Quando ele estava lá, disse a Esther que ela ía obter um aumento de 10%. Depois de seis meses de reclamação do Joe, o chefe voltou e deu-lho um aumento de 10% e descontou 10% nas receitas da Esther. Compare os seus actuais salários aos salários originais, depois de todos os descontos e aumentos. Estarão a ganhar mais? Menos? Explique a sua resposta.
3. Dois carros estão a percorrer a mesma direcção na rua. O carro em frente está a uma velocidade de 46 milhas por hora. O outro está a 70 milhas por hora. Quantas milhas é que os separam depois de 30 minutos, antes de o carro mais rápido apanhar o mais devagaroso.
4. Cinco gatos podem apanhar cinco ratos em cinco minutos. A este nível, quantos gatos são necessários para apanhar 100 ratos em 100 minutos? (dica: não é 100).
5. De doze moedas num saco, uma é falsa e pesa menos do que as outras. Utilize uma balança para descobrir a moeda falsa no número mais pequeno de peso. Explique.
6. Bolas de ténis são empacotadas muito apertadas, 3 numa lata. A lata é mais alta do que a distância em volta ou o inverso? Explique como é que sabe que a sua resposta é verdadeira.

No final, os meus alunos abstraem uma definição da matemática e da solução de problemas através da sua inter-acção com os problemas que eu selecciono, a discussão que tivemos e as coisas que avalio e valorizo. No processo da mudança da minha turma, constato que fico mais preocupado com a súbtil mudança qualitativa nos meus alunos e no ambiente da turma do que com os números actuais de problemas correctamente concluídos. Constatei que é convincente para os meus alunos despenderem horas, dias e mesmo semanas, num único problema na sua forma de aprender matemática importante.

REFERÊNCIAS:
Inhelder, Barbel, and Jean Piaget. The Growth of Logical Thinking from Childhood to Adolescence. New York: Basic Books, 1958.

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, VA.: NCTM, 1989.

Schoenfel, Alan H, "Learning to Think Mathematically: Problem Solving, Metacognition, and Sense Making in Mathematics". In Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, edited by Douglas A. Grouws, 334-70. New York: MacMillan Publishing Co., 1992.

Sobel, Max A., and Evan M. Maletsky. Teaching Mathematics: A Sourcebook of Aids, Activities, and Strategies. 2d ed. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, 1988.

AUTOR: Michael Mikusa, mmikusa@kent.edu ensina na Universidade do Estado de Kent, OH 44242-0001. Os seus interesses de investigação incluem a investigação sobre como os alunos estabelecem a verdade das suas ideias na matemática e o estudo da dinâmica da mudança na implementação da reforma no ensino da matemática.

FONTE: Ensino da Matemática na Escola Média 4 no 1 20-5 S'98. O publicador da revista é detentor dos direitos de autor deste artigo que é produzido com autorização. Mais reprodução deste artigo em violação dos direitos de autor é proibida.