Os temas são os seguintes: *Proporcionar um currículo de matemática amplo e equilibrado; *engajar os alunos em tarefas ricos e significativos de problemas; *acomodar as diversas formas pelas quais as crianças aprendem; e *encorajar os alunos a discutirem e a justificarem as suas estratégias de solução de problemas e as suas soluções. Na essência, esses temas abarcam a filosofia de que os alunos com deficiências na aprendizagem beneficiam de programas ricos e desafiadores que promovem o pensamento matemático. Cada um destes temas será ilustrado por exemplos de estudo de casos extraídos de um ou mais dos quatro relatórios de investigação. Antes de considerar os estudos de casos, apresentamos uma panorâmica de cada um deles na próxima secção. As panorâmicas pretendem proporcionar um contexto para descrever e discutir os estudos de casos.

ESTUDOS ENVOLVENDO ALUNOS COM DA - LD:
ESTUDO 1: COMPREENSÃO DAS CRIANÇAS DE NÚMEROS COM VÁRIOS ALGARISMOS: Este estudo, por Jones et al. (1996), validou um quadro que descrevia que havia vários níveis de pensamentos de crianças em relação ao sentido de números com vários algarismos. O quadro em si foi utilizado para gerar e avaliar duas versões diferentes de um programa de instrução enfatizando o sentido numérico nas turmas de ensino geral que incluía alunos com identificadas incapacidades de aprendizagem. A abordagem de instrução baseava-se no quadro, fundamentada no construtivismo social (i.e. Cobb & Bauersfeld, 1995), mantinha a posição de que as oportunidades de os alunos construírem conhecimento matemático decorria de tentativas para resolver pontos de vista conflituosos num grupo, de tentativas para construir e verbalizar uma ideia ou solução matemática e, de modo mais genérico, de tentativas de chegar a consenso com outros.

O programa de instrução era consistente com as recomendações de Englert et al. (1992 e Heshusius (1991), que sugeriram que os alunos com deficiências deviam ser desafiados com tarefas significativas de problema capazes de promover soluções e estratégias múltiplas. Durante o estudo, todos os alunos foram encorajados e dados tempo para trabalharem colaborativamente para resolver problemas de qualquer nível que pudessem obter. Uma outra esperança era de que todos os alunos iriam partilhar e justificar o seu pensamento de formas diferentes. Diferenças na compreensão demonstradas por crianças nos dois grupos intrucionais, atribuiam-se em grande medida à qualidade das experiências de solução de problemas e ao nível das interacções dos alunos.

ESTUDO 2: O USO DA ANÁLISE REFLECTIVA SOBRE AS PRÁTICAS INSTRUCIONAIS DE PROSPECTIVOS PROFESSORES ELEMENTARES: Esta investigação, por Langrall, Thornton, Jones e Malone (1996), utilizou uma abordagem de estudo de caso para investigar os efeitos da reflexão sobre práticas instrucionais de prospectivos professores elementares na matemática. Recomendações da NCTM (1989, 1991). Documentos padrão proporcionaram a base para as reflexões dos professores nas suas experiências construcionais em turmas elementares. Os prospectivos professores participaram numa série de onze experiências instrucionais na turma. Na primeira e na última dessas sessões, os professores instruíram pequenos grupos de alunos, incluindo crianças com deficiência de aprendizagem. Análises de video e transcrições dessas aulas foram suplementadas com outros dados, incluindo entrevistas semiestruturadas, sessões estimuladas de recordar, documentos escritos submetidos pelos professores e notas de investigação no terreno. Estas fontes de dados passaram a ser o contexto para seis estudos de caso que documentaram as mudanças nas estratégias instrucionais adoptadas pelos professores. Esta intervenção resultou em fortes mudanças nas práticas instrucionais desses prospectivos professores, incluindo mudança na forma como se relacionavam com os alunos com deficiência na aprendizagem.

As grandes mudanças incluíram (a) maior uso de tarefas orientadas a problemas e perguntas abertas, (b) maiores expectativas para o raciocínio e estratégias de soluções múltiplas de estudantes, (c) maior ênfase no diálogo e na colaboração entre os alunos; e (d) menos instrução orientada pelo professor. Embora o foco desse estudo fosse nos prospectivos professores, a investigação captou também ricas inter-acções de alunos entre si e com o professor.

ESTUDO 3: APOIO A ALUNOS DA ESCOLA SECUNDÁRIA COM BA - LD NA PRINCIPAL TURMA DE MATEMÁTICA: O grande objectivo deste projecto de investigação, conduzido por Borasi, Packman e Woodward (1991), era o de instituir um programa exaustivo de desenvolvimento profissional que pudesse encorajar e apoiar os professores de matemática do ensino médio em repensar as suas metas e práticas de ensino para melhor responderem às necessidades de aprendizagem de todos os seus alunos, com especial atenção aos que têm deficiências de aprendizagem.

O Projecto foi desenvolvido por uma equipa inter-disciplinar compreendendo educadores de matemática, um perito na aprendizagem de deficientes, e professores tanto da matemática, como do ensino especial. O seu quadro teórico era caracterizado por uma perspectiva construtivista no conhecimento e na aprendizagem, um modelo de processamento de informações da aprendizagem dos deficientes, e uma "abordagem de inquérito" ao ensino da matemática. No centro deste projecto estava o desenvolvimento de três unidades destinadas a ilustrar uma abordagem de inquérito de "falta de acção" nas turmas do ensino médio que incluíam alunos com deficiências de aprendizagem. Muitos dados de estudo de caso sobre alunos com DA - LD foram recolhidos durante a implementação dessas unidades em diferentes cenários instrucionais (uma escola privada para alunos com deficiências na aprendizagem e escolas públicas, tanto urbanas, como suburbanas, de turmas de ensino geral). Os resultados sugerem que uma abordagem de inquérito, complementada por modificações e adaptações instrucionais apropriadas, pode ajudar os professores da matemática a responderem aos desafios que acompanham uma diversa população de estudantes. Além disso, nas turmas de matemática, informada por uma tal abordagem, as diferenças de aprendizagem dos alunos podem ser capitalizadas e transformadas num valor positivo no cenário de aprendizagem.

ESTUDO 4: PROCESSOS DE SOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS DO ENSINO PRIMÁRIO IDENTIFICADOS COM DA - LD: Um estudo de Behrend (1994) examinou os processos de solução de problemas de cinco alunos da segunda e terceira classes identificados como tendo deficiências de aprendizagem. Em conformidade com as recomendações dos seus Programas Individualizados de Educação (IEPs), esses alunos recebiam instruções diárias na matemática numa sala de recursos para DA - LD. As Instruções Cognitivamente Guiadas (Fennema & Carpenter, 1985) proporcionaram um quadro para a avaliação das capacidades independentes e assistidas das crianças na solução de problemas.

Foram recolhidos dados durante entrevistas individuais e em sessões de pequenos grupos. Durante as sessões de grupo, eram colocados problemas de palavras aos alunos, dado tempo para os resolver e eram encorajados a partilhar as suas estratégias em discussões de grupos inteiros. Dicas gerais ou mais explícitas, eram dadas apenas quando fossem necessário. Behrend (1994) constatou que, dada à oportunidade, os alunos da sua turma eram capazes de partilhar as suas estratégias, ouvir as estratégias de outras crianças, discutir similaridades e diferenças entre as estratégias, justificar o seu pensamento e ajudar um ao outro a compreenderem problemas de palavras. Embora os alunos fizessem um modelo das suas soluções para os outros, ela constatou que o modelo do professor para as estratégias de soluções eram raramente necessárias e, regra geral, não promoviam melhor solução de problemas entre as crianças. Todos os cinco alunos puderam resolver uma variedade de

problemas, incluindo somas difíceis, subtracção, multiplicação e problemas de palavra na divisão; problemas com informações numéricas difíceis; e problemas com passos múltiplos. Behrend (1994) vê que os alunos da sua turma eram capazes de gerar e utilizar as suas próprias estratégias de solução de problemas e que não precisavam de ser ensinados estratégias específicas. Com base nesta constatação, ela questionou a necessidade de uma instrução explícita de estratégia na matemática para alunos com deficiências de aprendizagem, e recomendou abordagens instrucionais que utilizam processos disponíveis dos alunos na solução dos problemas.

ILUSTRAÇÕES DE CASO DOS QUATRO TEMAS: As quatro ilustrações de caso dos estudos acima descritos exemplificam os temas apresentados neste artigo. Embora alguns dos casos possam ilustrar mais do que um tema, as discussões realçam também características salientes de cada um dos temas.

PROPORCIONAR UM CURRÍCULO AMPLO E EQUILIBRADO NA MATEMÁTICA: Panorâmica do Tema. Baroody e Hume (1991) constataram que muitas crianças que experimentam dificuldades de aprendizagem na matemática, incluindo as que têm deficiências de aprendizagem são "deficientes no currículo". Para esses alunos, Trafton e Claus (1994) recomendaram um currículo mais amplo e mais equilibrado, em contraste com um currículo mais adicional, com a sua repetitiva e desnecessária ênfase na computação. Um currículo mais amplo pode ser estabelecido, utilizando instruções orientadas a problemas que incorporam uma ênfase maior no sentido numérico e no cálculo, análise de dados, sentido especial e pensamento geométrico, padrões e relações levando ao entendimento da álgebra e a utilização do apoio da tecnologia (Conselho Nacional de Professores de Matemática, 1989). A ampliação do currículo no sentido de incluir uma variedade de domínios da matemática não exclui, mas de facto encoraja o desenvolvimento de habilidades apropriadas da matemática. Essencialmente, apresenta oportunidades para diferentes tipos de pensamento e sucesso para além do raciocínio numérico. Um tal currículo deve ser reflectido nos IEPs das crianças. Embora não implique pôr de lado a computação na IEP, um ímpeto alargado permite aos alunos com deficiências de aprendizagem utilizar a matemática de forma mais flexível, produtiva e analítica (Bley & Thornton, 1994; Borasi, na imprensa; Enblert et al., 1992).

Ilustração de Caso: Para exemplificar o tema "currículo amplo e equilibrado", esta secção inspira-se nos dados de caso colhidos de dois alunos com deficiências de aprendizagem identificadas. As ilustrações incluem um episódio envolvendo uma aluna que chamaremos de Jana, incidindo no cálculo mental Jones et el., 1996), e um episódio documentando o pensamento de "Terrell" sobre a geometria (Langrall et al., 1996). Na Escala Wechsler de Inteligência para Crianças-III, a Jana, de 9 anos, conseguiu uma média muito baixo nos sub-textos da Compreensão Verbal e da Matemática. Porque ela tinha também algumas dificuldades receptivas de língua e de memória auditiva, ela foi colocada num programa próprio de deficiência de aprendizagem. Apesar das suas dificuldades com problemas de palavra, a sua boa memória visual e o seu interesse na matemática levou-a a que fosse colocada com o resto da turma geral da matemática, onde ocorreu o seguinte episódio:

A actividade começou na altura em que a turma da Sra. Tate entrou na sala. Cada par de crianças seleccionou uma carta que mostrava um montante de dinheiro que tinham despendido. A tarefa era de "comprar" artigos da venda da garagem mural na parede, gastando tanto dinheiro possível que tinham. As crianças trabalharam em pares por pouco tempo antes de a Sra. Tate as juntar par partilharem o seu pensamento. Durante as últimas duas semanas, a actividade de venda da garagem tinha constituído um problema diário de matemática para as crianças --- uma das quais tinha saído de experiências anteriores de solução de problemas com a adição e dinheiro. A Jana falou para si e para o seu parceiro: "Nós seleccionamos o quadro para 38c e o cartaz para 15c -- e temos apensas 7c de troco". Pedidos para explicarem como sabiam que tinham 7c de troco, a Jana disse: "nós apenas pensamos sobre a Carta de 100s. Começamos com 38 e fomos até 48, depois contamos mais 5. Portanto, pagamos 53c -- isto dá-nos 7c de troco porque tínhamos 60c para gastar".

Este episódio ilustra como a Carta dos 100s permitiu a Jana ir além da computação no papel e lápis. Durante uma instrução anterior com este gráfico, a Jana sentiu-se encorajada a indicar um dedo ao longo da Carta, à medida em que ela contava. Em seguida, ela foi capaz de visualizar o processo da contagem apenas pensando na Carta dos 100s. Neste caso, a Carta era um instrumento compensatório apropriado que permitiu a Jana contar mentalmente somas de dois algarismos.

O segundo caso centra-se no Terrell - um aluno com deficiências de aprendizagem matriculada numa turma geral da quinta classe. Ele manifestava pouca habilidade para raciocinar de forma abstracta e tinha problemas de percepção visual, mas retinha informação depois de a ter internalizado. O episódio seguinte ilustra como o Terrell, não obstante as suas dificuldades de aprendizagem, manipulou blocos de padrão e utilizou a sua compreensão de um modelo de cambalhota de alto mergulho para raciocinar sobre as medidas angulares de forma significativa. O Terrell apontou para os três trapézios que tinha colocado em volta de um ponto no retroprojector [vide fig. 1].

Ele explicou o que Duane tinha dito ao seu grupo sobre como uma "cambalhota de 360" a partir de um mergulho alto "gira toda". "Aqui, três destes [trapézios] percorrem todo o caminho. Portanto, dividimos 360 por 3 e obtivémos 120 para o ângulo grande". À medida em que observava os grupos a trabalhar, o professor, Sr. Adams, não tinha a certeza de que o Terrell tinha compreendido a explicação do Duane quanto ao giro de 360 graus; ele ficou satisfeito quando ouviu o Terrell refrasear a explicação do Duane e, mais tarde, a apresentar voluntariamente a solução do grupo. A expectativa do Sr. Adams de que todos os membros do grupo seriam capazes de apresentar a solução do grupo abriu o caminho para o Terrell verbalizar a sua estratégia de solução dentro do seu grupo de trabalho. Expectativas como esta, que incorporam oportunidades para as crianças com deficiências de aprendizagem a articularem o seu pensamento, mostraram-se ajudando a aprender e a reter situações (vide Montague, esta questão). Outros grupos da turma tinham encontrado formas diferentes de mostrar que o ângulo obtuso do bloco-padrão era de 120 graus. A tarefa inicial tinha confrontado cada grupo de quatro alunos a determinar as medidas de cada um dos ângulos do bloco-padrão. Como parte da discussão subsequente, um mapa resumo foi feito para organizar as constatações da turma. Estas ilustrações de caso documentam como dois alunos com deficiências de aprendizagem foram coroados êxitos em programas de matemática que enfatizavam um currículo amplo e equilibrado. Quando a instrução é consistente com as doutrinas de um tal currículo e abordagens diferentes são valorizadas, é possível as crianças realizarem êxitos com as suas limitações específica (Bulgren & Montague, 1989; Cawley, Fitzmaurice-Hayes, & Shaw, 1988; Ginsburg, esta série).

ENGAJAR OS ALUNOS EM TAREFAS RICAS E SIGNIFICATIVAS DE SOLUÇÃO DE PROBLEMAS: Panorâmica do Tema: Recomendações recentes (i.e. Concelho Nacional de Professores de Matemática, 1989, 1991; Concelho Nacional da Investigação, 1990) realçam a necessidade de instruções relevantes e orientadas a problemas. A tese central dessas recomendações é de que todos os alunos devem ser auto-confiantes "fazedores" da matemática e, consequentemente, devem ser capazes de resolver problemas de forma viável.

Isto requer que todos os alunos tenham oportunidades de explorar vários tipos diferentes de problemas matemáticos e que sejam tanto esperados e encorajados a utilizar uma variedade de estratégias na sua solução (Conselho Nacional de Professores de Matemática, 1989).

Embora a solução de problemas tenha sido tradicionalmente uma área difícil para vários alunos com deficiências de aprendizagem (Montague e Bos, 1986; Wasart, 1990), Bulgren e Montague (1989) indicaram que estes alunos podem suceder para além das duas actuais expectativas, se forem expostos a tarefas de solução de problema apropriadas e significativas em termos de desenvolvimento, complementados por modificações apropriadas de instruções. Além do mais, as crianças que experimentam dificuldades com a computação formal, ou em recordar factos básicos, não devem ser proibidas de se engajarem em tarefas mais desafiadoras de solução de problemas (Cawley e Miller, 1989; Guinsburg, esta série).

Na verdade, uma parte substancial da investigação revela a eficácia da utilização da solução de problemas como um meio para a aprendizagem da matemática, incluindo factos e computação básicos (i.e. Carpenter/Moser, 1984). Quando as tarefas de solução de problemas são suficientemente complexas, ricas e abertas, podem ser exploradas a diferentes níveis de compreensão. Stenmark (1991) caracterizou um problema "rico" de três formas: a) o problema leva a outros problema, b) o problema levante outras perguntas e c) o problema tem várias abordagens de solução. Nós podíamos acrescentar um quarto critério: um problema faz conexões múltiplas. Ilustração de Caso. Um exemplo de uma tarefa de solução de problemas, complexa e rica, que foi apresentado a uma turma autónoma de 9 alunos classificados como severamente obstacularizados na aprendizagem, é o seguinte problema de triângulo-rectângulo: Será que todo o triângulo é ½ de um rectângulo? Sim ou Não? Prove-o.

O seguinte excerto de um jornal do professor, proporcionar alguma informação tanto sobre a natureza da tarefa do problema, como o pensamento e as representações físicas que os alunos utilizaram para resolvê-lo. Três rapazes, trabalhando em conjunto, recortaram os triângulos coloridos [da Folha de Trabalho do Triângulo (TWS; vide a fig. 2)], gravaram nos triângulos em branco TWS [vide fig. 3], e formaram paralelogramas. A sua premissa era de que "Não -- Dois triângulos iguais não podem formar rectângulos. As formas formadas não são rectângulos porque não têm ângulos de 90 graus". (Stone 1993, p.54). Um [segundo] grupo de dois rapazes deram-se permissão para recortar os … triângulos [vide fig. 3] sobre a altitude e gravar os dois triângulos [coloridos], um em cada lado do triângulo branco. Eles tiveram alguma dificuldade com #3, o triângulo obtuso. Eles recortaram um pedaço ao longo da linha do fim. Depois de terem gravado os dois pedaços ao triângulo existente, tiveram um pequeno pedaço a salientar-se no lado esquerdo e um pequeno buraco à direita. Eles perguntaram se podiam recortar o pedaço e movimentá-lo. Acabaram produzindo um rectângulo perfeito com uma base de 4 uma altura de três (muito genial!). (Stone, 1993, p.56).

Uma rapariga trabalhou sozinha por causa de faltas. Ela também fez o recorte de triângulos. Trabalhou de forma totalmente independente. A sua primeira conjectura foi de todos os triângulos, à excepção do #3 podiam formar rectângulos. Sentiu-se muito orgulhosa quando finalmente descobriu como chegar ao #3 à semelhança do primeiro grupo de rapazes. (Stone, 1993, p.54). Dentro de contextos de problemas como este, os alunos com deficiências de aprendizagem são capazes de consolidar as suas diversas energias à medida em que vão resolvendo problemas utilizando parâmetros diferentes e realizar êxito "dentro das suas específicas limitações" (Borasi, in press).

Este tipo de exploração aborda a necessidade mais ampla de confrontar os alunos no sentido de pensarem para além das expectativas normais. Quando encarados de acordo com as características propostas por Stenmark (1991), o problema do triângulo -- rectângulo responde ao critério para um problema mais rico no sentido de que a) gerou problemas de extensão, b) levantou questões sobre formas, c)gerou soluções diferentes através da redifinição dos parâmetros do problema, e d) abriu caminho para explorar mais conexões. Em relação a problemas de extensão, o grupo de crianças no primeiro cenário acabado de ser mencionado, raciocinou correctamente que nenhum triângulo não é metade de um rectângulo, mas sim metade de um paralelograma. Isto levantou outro problema que foi prosseguido numa lição posterior, "será que todo o triângulo é metade de um paralelograma?".

O segundo grupo de três rapazes redefiniu o problema da sua própria forma e, na essência, investigou um problema de extensão: "Pode um rectângulo ser formado mudando fisicamente dois triângulos congruentes?" O problema levantou questões sobre a definição de propriedade de formas. Por exemplo, quando é que um paralelograma é um rectângulo? O problema proporcionou também uma oportunidade para o professor dar seguimento à distinção entre formas congruentes e formas que têm a mesma área. Dada à diferença na interpretação e no raciocínio, o problema deu lugar a duas soluções diferentes, mas válidas. Num caso, presumindo que a forma do triângulo não podia ser alterada, as crianças concluíram que não era possível todo o triângulo ser metade de um rectângulo. No outro caso, as crianças estabeleceram uma assunção de diferenças -- de que a forma do triângulo podia ser alterada desde que as áreas permanecessem as mesmas. Nesta situação, era possível constituir um rectângulo que fosse duas vezes a área de um determinado triângulo. Em termos de conexões, a tarefa do problema triângulo-rectângulo abriu caminho para o professor fazer a ligação entre áreas de triângulos e áreas de rectângulos. A conexão natural entre a visualização das medidas de comprimento e largura de um rectângulo e a base correspondente - altura de um triângulo podia ser realçado numa tal instrução. Além disso, seria possível fazer conexões entre as áreas de um triângulo, um rectângulo e paralelograma. Quando os alunos são dados oportunidades para se engajarem em tarefas ricas de solução de problemas, como neste caso, os resultados podem ser um tanto ou quanto dramáticos. Este êxito é consistente com a investigação, documentando o facto de que os alunos aprendem aquilo que eles têm a oportunidade de praticar. Os alunos que tiveram muitas oportunidades para resolver problemas na matemática, melhoraram a sua capacidade de solução de problemas (i.e. Carpenter et al., 1989; Conselho Nacional de Professores de Matemática, 1989; Silver, 1985).

ACOMODAR AS FORMAS DIVERSAS PELAS QUAIS AS CRIANÇAS APRENDEM: Panorâmica do Tema: Hoje, a matemática é vista como uma "experiência de fazer-sentido" envolvendo conceitos e relações numéricos, lógicos e especiais. Porque o fazer-sentido é idiossincrático, os alunos com deficiências na aprendizagem normalmente precisam de tempo considerável para compreender situações de problemas e construir estratégias.

Por outro lado, se estes alunos tiverem que desenvolver pensamento matemático a níveis mais altos e disposições mais positivas em relação à matemática, precisam de oportunidades correntes para explicarem as tarefas matemáticas em formas que se coadunam com as suas capacidades de aprendizagem (Speer e Brahier, 1994). Por exemplo, os grupos de aprendizagem podem ser formados com base em estilos de aprendizagem de complementaridade. Com esta abordagem, os alunos com capacidades diferentes podem encontrar os seus nichos e realizarem êxitos dentro das suas limitações específicas (Borasi, in press).

Ilustração de Caso. Um episódio envolvendo Dan (um pseudónimo; Behrend, 1994), é um caso pontual. Dan, um rapaz de 9 anos de idade, recebia instruções de matemática numa sala de recursos para pessoas com deficiências na aprendizagem. Na escala de inteligência de Wechsler para Crianças - Revista, a sua escala total de IQ era média, embora ele tivesse dificuldades em processar informações múltiplas. Na altura do estudo, estava em medicação para controlar a sua desordem de prestação de atenção. Dan era o aluno mais inconsistente a respeito do rendimento matemático no estudo de Behrent (1994), A sua inconsistência era bem aparente em problemas rotineiros de computação, onde ele tentava aplicar regras aprendidas de forma não significativa. Por exemplo, quando perguntado quais das duas formas (vide fig. 4a) seria a melhor para se chegar ao total, o Dan seleccionava o exemplo à esquerda porque correspondia à sua interpretação da regra do professor para a adição: "as unidades vêem primeiro" (p.74). Dan acreditava que 78 era uma resposta razoável porque o 4
era "onde devia estar …". Porque era ali onde muitas vezes se colocava o primeiro dos números" (p.75). Todavia, quando Dan estava perante um problema não rotineiro e era permitido resolvê-lo flexivelmente, da sua própria forma, ele demonstrava uma capacidade surpreendente, tal como ilustrado pela sua solução ao seguinte problema: 19 crianças estão a apanhar um autocarro para o Jardim Zoológico. Elas terão que se sentar a dois ou a três em cada assento. O autocarro tem 7 assentos. Quantas crianças terão que se sentar a 3 e quantas terão que se sentar aos pares num assento? (Behrend, 1994, p.77). O Dan rapidamente desenhou 7 linhas para representar os 7 assentos, desenhou um círculo para cada assento e repetiu o processo até que tivesse chegado a 19 círculos (vide fig. 4b). Este tipo de apresentação de modelo e estratégia de contagem exemplifica o pensamento do Dan em situações de problema para o qual um procedimento conhecido não era prontamente disponível. Ele não só foi capaz de resolver problemas não rotineiro, como este, mas Behrend informou que ele era também capaz de resolver correctamente problemas que incluíssem informações estranhas. Com efeito, quando o professor acomodou o estilo distinto de aprendizagem do Dan, este registou êxitos; quando se visse obrigado a utilizar a abordagem algorítmica do professor, ele invariavelmente falhava. A inflexibilidade de um procedimento insignificante parecia estar a inibir a sua capacidade de reconhecer o raciocínio de uma resposta ou a sua tentativa em estratégias alternativa. Como este caso ilustra, a acomodação de formas diversas pelas quais as crianças aprendem, nem sempre requerem estratégias pro-activas por parte do professor. Pelo contrário, há vezes em que o professor deve recuar e observar e ouvir os padrões de pensamento das crianças para que elas possam responder e maximizar as capacidades das mesmas. No seu estudo, Behrend (1994), constatou que os alunos com deficiências de aprendizagem construíam e utilizavam as suas próprias estratégias para resolver uma variada gama de tipos de problemas. Concluiu que a instrução devia ser consolidada em torno do entendimento actual da criança e promover o desenvolvimento de estratégias de solução de problemas cada vez mais eficazes, ao invés de enfatizar regras e procedimentos específicos. Ao encontrar implicações para a instrução, Behrend gera uma mensagem poderosa para professores com alunos diversos: um modelo de instrução que envolve a colocação de problemas, dando aos alunos tempo para os resolver da sua própria forma, ouvindo as estratégias dos alunos, assistindo-os apenas quando necessário e discutindo similaridades e diferenças entre estratégias, proporciona muitas vantagens em relação a outras formas de instrução. Os professores são capazes de fazer com que a avaliação seja parte integrante da instrução, aos alunos é dado maior controle da sua própria aprendizagem e a matemática é vista como um processo de fazer-sentido de relações numéricas. A instrução passa a ser menos uma questão de seguir instruções ou imitar o que foi apresentado como modelo, e mais uma forma de fazer conexões ao que já existe. (p.109).

ENCORAJAR OS ALUNOS A DISCUTIREM E A JUSTIFICAREM AS SUAS ESTRATÉGIAS DE SOLUÇÃO DE PROBLEMAS E SUAS SOLUÇÕES: Panorâmica do Tema. A investigação sugeriu que turmas em que os alunos "discutem, criticam, explicam e, se necessário, justificam as suas interpretações e soluções" (Cobb et al., 1991, p.6) são efectivas em nutrir pensamento matemático. Tais abordagens orientadas a inquérito estão em consonância com a revisão de investigação de Scheid (1990) no ensino especial, que também enfatizou a importância do pensamento da criança quanto às suas soluções e justificação das mesmas. Os alunos podem comunicar e justificar o seu pensamento e raciocínio através de escrita de jornal, partilha de padrões, ou discussão aberta na turma inteira, dependendo das situações e das necessidades individuais do aluno. Depois de concluir uma tarefa de problema, os professores podem convidar os alunos a fazer o seu pensamento ou seu registo de jornal com um parceiro ou um pequeno grupo. Desta forma, todos os alunos terão uma oportunidade para comunicar o seu pensamento de alguma forma, se ou não partilhar subsequentemente a sua ideia com o grupo mais amplo.

Esta abordagem de Partilha de Pensamentos aos Pares (MacTighe e Lyman, 1988), aumenta o tipo de comunicações pessoais que são necessárias para os alunos processarem, organizarem e reterem ideias internamente (Pimm, 1987). Discussões abertas na turma, nas quais os alunos explicam e justificam as suas soluções a problemas, proporcionam um rico fórum pelo qual os alunos desenvolvem a sua compreensão da matemática. Ao partilhar as suas ideias, os alunos assumem propriedade da sua aprendizagem e negoceiam significados, ao invés de unicamente confiarem na autoridade do professor (Cobb et al., 1991). Lo, Dheatley e Smith (1991), também reportaram mudanças positivas nas disposições dos alunos e sua auto-estima quando eles deviam ouvir um ao outro e respeitar as ideias de cada um. Os alunos com diversas necessidades de aprendizagem ganham crédito junto dos seus colegas, reportando perante a turma inteira o que aprenderam a partir da participação colectiva em trabalho de grupo e na redacção de jornal. Sessões de informação proporcionam também oportunidades para os alunos com menos articulação aprenderem a partir dos seus colegas que, de certa forma, servem como papel-modelo para pensamento mais elevado. Exposição repetida a experiências desse género estimula a probabilidade de os alunos com deficiências específicas iniciarem a pensar independentemente a níveis mais altos (Scheid, 1990).

Ilustração de Caso: Borasi, Kort, Leonard e Stone (1993), reportaram sobre uma turma de 9 nove crianças com severas deficiências de aprendizagem, fez notar como esses alunos frequentemente escreviam para explicar aos outros o que teriam feito e, em seguida, como criavam pares para a partilha. De facto, as duas crianças que também tinham desordem de prestação de atenção/hiper actividade, sempre foram convidadas a partilharem o seu pensamento a medida em que andavam pela sala, por forma a "se livrarem de alguma energia em excesso" (p.143).

Num outro exemplo de Borasi et al. (1993), os alunos foram solicitados a escreverem um artigo de jornal, descrevendo os seus processos para encontrar o número de azulejos necessários para cobrir o chão da sala. Um aluno, que nós chamaremos de Todd, tinha uma aguda deficiência motora na escrita, bem como uma deficiência "numérica". Ele foi ajudado por Borasi, um observador participante na turma, a primeiro reconstruir e, depois, registar a sua solução num jornal. Instado pelas perguntas do investigador, o Todd explicou como é que ele resolveu o problema de organização dos azulejos. Ele recusou a oferta do investigador de escrever em seu lugar, preferindo fazê-lo ele próprio. Descreveu cada passo do seu processo de solução em voz alta, antes de o pôr por escrito. A tarefa de redacção de jornal foi concluída ao longo de um período de dois dias, com o apoio das perguntas do Borasi. No final, Todd produziu um artigo bem organizado e compreensível que, mais tarde, Borasi transcreveu num computador para ser partilhado com outros alunos. Reflectindo na experiência do Todd, o investigador comentou que este é um dos trabalhos que parecem ser realmente importantes e produtivos com um aluno que tem deficiências sérias na escrita, como foi o caso do [Todd]; era nossa esperança que essa experiência fosse mostrar ao [Todd]
O que ele podia realmente fazer e proporcionar um modelo para o futuro; não esperamos que hoje ele seja capaz de fazer uma redacção idêntica por si só ainda, mas talvez possa ser capaz de o fazer uma segunda vez com menos ajuda e, gradualmente, aprender a fazê-lo com o apoio de um adulto. (Borasi et al., 1993, p. 152).

COMENTÁRIOS CONCLUSIVOS: Em consistência com recentes recomendações do Conselho Nacional de Professores de Matemática (1989, 1991), este artigo apresentou e ilustrou quatro temas promissores para a instrução da matemática que emanaram de estudos recentes na matemática, envolvendo alunos com DA.

Os temas -- a) proporcionar um currículo amplo e equilibrado da matemática; b) engajar os alunos em tarefas ricas e significativas de solução de problemas; c) acomodar as diversas formas pelas quais as crianças aprendem; e d) encorajar alunos a discutirem e a justificarem as suas estratégias de solução de problemas e soluções -- sugerem formas para repensar o ensino e a aprendizagem da matemática para alunos com deficiências de aprendizagem. Dados de caso exemplificando esses temas proporcionam uma visão do que pode acontecer quando os professores nutrirem o pensamento matemático e derem tempo e oportunidade para os alunos se engajarem e partilharem as suas soluções a problemas ricos e significativos. Os alunos com deficiências cognitivas e de processamento merecem -- e têm o potencial de - ser capacitados matematicamente. No domínio das deficiências de aprendizagem, relativamente, poucos estudos reflectem os temas instrucionais identificados neste artigo. Este artigo pôs em relevo quatro estudos que ilustram em engajamento frutífero de alunos com DA na solução de problemas e no pensamento de alto nível. Segundo as constatações destes estudos, recomendamos uma abordagem ampliada ao currículo e instrução que acomode e capitalize na diversidade, no pensamento e na aprendizagem. Embora mais investigação seja necessária, os estudos delineados neste artigo sugerem que as habilidades matemáticas dos alunos com DA podem ser acomodadas e capitalizadas quando estes alunos têm oportunidades persuasivas para aprender em programas desafiadores, amplos e bem equilibrados. Não obstante o facto de os alunos poderem necessitar de técnicas compensatórias apropriadas, a nossa tese é de que os programas baseados nos temas apresentados neste artigo podem elevar o pensamento matemático destes alunos para níveis anteriormente considerados estarem aquém do seu alcance. Se permitir o seu punho estender ao seu alcance, então nunca estenderá o seu alcance -- Woody Allen, 1992.

Material Adicional
FIGURA 1. Ilustração de bloco padrão de Terrel.
FIGURA 2. Papel de trabalho triangular.
FIGURA 3. Solução de dois rapazes ao problema do triângulo--rectângulo.
FIGURA 4. O trabalho do Dan.


REFERÊNCIAS
Baroody, A. J., & Hume, J. (1991). Meaningful mathematics instruction: the case of fractions. Remedial and Special Education, 12(3) 54-68.

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AUTOR: Carol A. Thornton, Cynthia W. Langrall, and Graham A. Jones.

Carol A. Thornton, PhD, é uma professora universitária distinta no Departamento de Matemática da Universidade do Estado de Illionois. Ela realizou uma extensiva investigação na aprendizagem da matemática das crianças no contexto da instrução na turma, tem um interesse especial no currículo e no desenvolvimento do pessoal, envolvendo tanto professores do ensino geral, como do ensino especial, e é co-autora do Ensinar Matemática a Alunos com Deficiências de Aprendizagem (publicado por PRO-ED) e co-editora de um livro especial de educação para o Conselho Nacional de Professores de Matemática.

Cynthia W. Langrall, PhD, é uma professora assistente no Departamento de Matemática da Universidade do Estado de Illinois, onde a sua investigação foca sobre o ensino e a aprendizagem da matemática nos níveis elementares e médios, com ênfase especial nas práticas de instrução que acomodam diversidade de alunos.

Graham A. Jones, PhD, é um professor visitante no Departamento de Matemática da Universidade do Estado de Illinois . Os interesses do Dr. Jones incluem a investigação no pensamento matemático das crianças nos números, na probabilidade e na solução de problemas. Ele conduziu também e reviu a investigação na educação de professores e desenvolvimento de pessoal que tem um impacto tanto no ensino geral, como no especial. Endereço: Carol A. Thornton, Illinois State University, 4520 Mathematics, Normal, IL 61790-4520.

FONTE: Jornal de Deficiências de Aprendizagem 30 142-50 Mr/Ap'97. O publicador da revista é o detentor do direito de propriedade deste artigo que é reproduzido com autorização. Qualquer outras reprodução deste artigo em violação dos direitos de propriedade, é proibida.