A investigação na área de ensino cedo da matemática infantil (Fuys e Liebov, 1993; Del Grande, 1985; Fruedenthal, 1973) confirma que as crianças são naturalmente intrigadas por, e motivadas a aprender mais sobre a geometria que define os seus mundos. Embora seja importante proporcionar um rico programa da geometria no ensino primário, a investigação revela que a pouca atenção prestada à geometria é tipicamente para fins de exposição. (Bruni e Seidenstein, 1990; Porter 1989). Por conseguinte, qualquer tempo dedicado à geometria na turma é precioso.

Como praticantes da matemática na infância, nós constatamos que várias crianças têm muitos mal-entendidos sobre a geometria, talvez como resultado da falta de exposição ao vocabulário e demasiado pouca experiência autêntica no ensino primário. É também possível que as informações erróneas transmitidas por adultos durante a instrução formal e informal minimize e contradiz a construção de geometria das crianças. Para podermos encontrar a fonte dos maus conceitos, e para melhorar o programa da geometria, nós devemos considerar as práticas actuais utilizadas para ensinar a geometria.

DESCOBRIR AS RAÍZES DOS MAUS CONCEITOS DE QUADRADOS E RECTÂNGULOS: Uma actividade comum envolvendo a geometria é as crianças reconhecerem e identificarem as várias formas. Muitas crianças são ensinadas a dar nomes às formas através de experiências com adultos, colegas, televisão, livros e jogos de computador. Embora estas experiências possam ser ricas, podem não ter a profundeza ou podem ser incorrectas. Por exemplo, as crianças são muitas vezes ensinadas a categorizar rectângulos e quadrados separadamente. Tipicamente, um polígono com quatro lados iguais e quatro ângulos iguais é referido como um quadrado, enquanto que o polígono com um comprimento igual, lados paralelos iguais, mas lados perpendiculares desiguais, é referido como um rectângulo. Nós ouvimos a crianças a se referirem oralmente a rectângulos como sendo "longos" ou "altos". O seu sistema de diferenciar quadrados de rectângulos é baseado em experiências estreitas como alguns exemplos específicos.

Estas construções podem causar confusão mais tarde, à medida em que os educadores esclarecem às crianças que os quadrados também cabem na descrição de rectângulos. A nova informação não se liga logicamente ao que elas já aprenderam. Embora a primeira classificação de rectângulos contra quadrados é essencialmente correcta, não permite o crescimento no entendimento de que um quadrado é uma classificação mais específica de um rectângulo, da mesma forma que um rectângulo é uma classificação mais específica de um paralelograma, e que um paralelograma é uma classificação específica de um quadrilátero (vide fig. 1). O relacionamento não é explorado e cada formação é vista exclusivamente. Parece que proporcionar informações incorrectas e incompletas logo à partida, na esperança de voltar a ensinar e alterar os paradigmas do pensamento, mais tarde, nas carreiras educacionais dos alunos, passou a ser um meio inaceitável de abordar um sistema mais complexo de classificação.

Não esperamos que as crianças compreendam plenamente as complicações de quadrilaterais e o seu sistema de classificação, mas acreditamos que as crianças se sentem melhor aprendendo sobre quadrilaterais no seu conjunto, contra o enfoque em alguns exemplos específicos e tentando expandir a sua compreensão mais tarde. Para ajudar a compreensão, defina um quadrilateral como uma figura de quatro lados e dê aos alunos paus de variados tamanhos com os quais construir uma variedade de quadriláteros. Depois de terem sido feitas as formações, os alunos podem observar as criações dos seus colegas, e o professor pode iniciar uma discussão sobre as similaridades e as diferenças entre as formações. A discussão deve incluir a terminologia de cantos e lados e fazer com que eles organizem ainda os quadrilaterais em várias diferentes categoria.

Os alunos têm a oportunidade de descobrir e exprimir os atributos dos quadrilaterais que já exploraram. Dentro dessas categorias, os nomes de quadrilaterais particulares, tais como quadrado, rectângulo e paralelograma, podem ser introduzidos. Esta abordagem orientada à descoberta envolve olhar para as similaridades e as diferenças entre e no seio de formas, em vez de decorar descrições específicas de formas individuais. Esta actividade abrirá o caminho para os alunos compreenderem que existem muitos tipos de quadrilaterais e que estas formas têm alguns elementos em comum.

TRAPEZOIDES E TRIÂNGULOS: Um funcionário foi solicitado a recolher vários quadros para um acontecimento especial de escola. Quando voltou com um quadro na forma de um trapezoide, ele perguntou, "nós vamos utilizar este quadro triangular?" Vários adultos utilizam termos similares e classificam incorrectamente formas e sólidos na presença de alunos. Como modelos de papel, nós devemos prestar particular atenção à linguagem da matemática e devemos considerar como são interpretadas as nossas palavras. Talvez devamos examinar o nosso próprio conhecimento do conteúdo da geometria. Em várias instâncias, a má utilização da terminologia não é intencional; ao invés, é resultado de lacunas na aprendizagem e, possivelmente, a forma superficial pela qual nós aprendemos o léxico da geometria. Como aprendizes jovens, nós podemos ter formas identificadas memorizando atributos específicos que podemos não ter compreendido totalmente. Quando a memorização ocorre sem uma ligação a conceitos bem desenvolvidos, os aprendizes usam ou ouvem várias terminologias que podem levar a maus conceitos. De igual modo, quando aos jovens aprendizes são oferecidos apenas exemplos regulares ou comuns de formas, eles ligam uma forma a um modelo, o que limita a aplicabilidade e a compreensão.

Uma experiência recente com a Grace, da primeira classe, releva a questão. A Grace recebeu um padrão no algarismo 2 e foi solicitada a continuá-lo. Ela estudou o padrao e começou a lê-lo em voz alta. "Triângulo, triângulo errado, triângulo, triângulo, triângulo errado, triângulo, ... a forma seguinte é um triângulo recto!" Claramente, a construção da Grade de um triângulo apropriado incluía apenas triângulos equilaterais. Erroneamente, triângulos rectos foram julgados "triângulos errados" por Grace. Está claro que a Grace apenas aprendeu sobre um tipo de triângulo na sua experiência matemática, portanto esta situação apresentava um momento perfeito de ensino. Porque a Grace anunciou a forma não familiar de um triângulo, muito embora tivesse sido um triângulo (errado), ela estava pronta para aprender sobre diferentes tipos de triângulos, vários ângulos e os modelos de triângulo equilateral e recto.

Pode argumentar-se que crianças de tenra idade não estão prontas em termos de desenvolvimento para processar o extensivo vocabulário e as abstracções associadas com a geometria. Todavia, reconstruções mais tarde podem necessitar de maior sofisticação intelectual. Faz sentido criar dificuldades subsequentes para as crianças, simplesmente por nós temos o receio de lhes dar desafios académicos antes?

FORMAS TRI-DIMENSIONAIS: As crianças são expostas a maus conceitos sobre a geometria a partir de várias fontes, incluindo livros. O Silly Story of Goldie Locks e Three Squares - três quadrados (MacCarone, 1996) foi escrito para ajudar no ensino da matemática e inclui uma nota introdutória para os pais, bem como sugestões para actividades de seguimento. Para um educador, essa história familiar de livros e a componente de instrução parece convidativa, e os pais e os professores podem pensar que estão a contribuir para uma compreensão da geometria. Todavia, a ilustração do livro das três camas de Goldie Lock é problemática. (Vide fig. 3). A primeira cama "tinha a forma de um círculo"; a segunda "como um triângulo" e a última "como um rectângulo". Na realidade, as formas parecem um círculo, um triângulo e um rectângulo, mas na verdade, são um cilindro, uma prisma triangular e outra rectangular. Embora o texto afirme que as camas têm a forma "parecidas" a um círculo, um triângulo e um rectângulo, poucas crianças podiam estabelecer diferença entre o "parecer" e verdadeiro, sem ênfase e mais discussão, e os pais e os professores podem também ser mal orientados.

De igual modo, várias crianças são ensinadas a conceber um cubo como um quadrado e uma esfera como um círculo. Um programa televisivo pré-escolar popular para a busca de quadrados, resultou numa colecção de cubos, e uma busca de círculos resultou em esferas. Embora as faces de um cubo sejam quadradas e uma esfera apanhada em duas dimensões pudesse ser chamada de um círculo, a terminologia e as características de representações bi-dimensionais e tri-dimensionais não tinham sido exploradas.

Uma actividade popular é de pedir que os alunos procurem formas particulares na sala ou em casa, mas nós devemos ter o cuidado quanto às perguntas que fazemos e as respostas que recebemos, à medida em que os alunos se comunicam quanto às suas constatações. Este ponto é ilustrado no diálogo e ocorreu numa turma do ensino primário entre um professor (P) e diferentes alunos (A1 a A5).

P: Que formas encontrou em volta da sala?

A1: Eu descobri um rectângulo.

P: Pode mostrar-nos qual é o rectângulo que descobriu?

A1: Mesmo aqui [apontando para a frente da ponta da sala de aulas]. A porta da nossa sala de aulas.

P: Portanto, a parte frontal da porta parece um triângulo?

A1: Sim.

P: Porque é que o chamou de rectângulo?

A1: Eu sei que é um rectângulo porque estes dois lados são os mesmos [apontando para os lados opostos] e estes dois também são os mesmos [apontando para o outro par de lados opostos].

A2: E há três cantos quadrados!

P: Então, todos concordam que nós podemos chamar esta forma de um rectângulo? Podemos chamá-lo de qualquer outra coisa?

A3: Um quadrilateral!

P: Alguém pode ver qualquer outro quadrilateral nesta porta?

A4: Eu. Eu vejo um outro rectângulo ao lado da porta. [O aluno 4 descreve os quatro cantos que constituem os lados da porta]. É realmente alto e fino.

P: Há outros rectângulos que constituem a porta? [A discussão continua e os alunos eventualmente referem-se a seis superfícies da porta como rectângulos].

P: Nós podemos ver seis rectângulos diferentes na porta. Se juntarmos esses rectângulos para formar um sólido, como esta porta, já deixa de ser um rectângulo. É constituído por seis rectângulos na sua superfície. É chamada uma prisma rectangular. Vamos utilizar esses materiais para constituir o nosso prisma rectangular [os alunos recebem blocos de cartolina e fita gomada].

Muito embora o foco da lição fosse em formas bi-dimensionais, a identificação da porta como um rectângulo levava a uma discussão de sólidos tri-dimensionais também. É melhor introduzir uma nova terminologia aos alunos, do que tentar subsequentemente distinguir entre formas bi e tri-dimensionais. Embora todos os alunos não se possam recordar do termo prima rectangular, eles terão sido dados uma oportunidade para discutirem e explorarem o conceito, o que será uma boa base para futura compreensão da geometria.

EVITAR CONCEITOS ERRÔNEOS SOBRE A GEOMETRIA NA TURMA:  
Os educadores devem ter em mente vários elementos-chave à medida em que introduzem e ensinam conceitos da geometria às crianças. A lista que se segue, embora não seja exaustiva, pretende inspirar pensamentos sobre a avaliação de programas.

1. Enfatizar as propriedades e as características de um conceito. Permitir tempo para exploração, por forma a que os alunos possam experimentar as propriedades de forma estética. Encorajar as crianças a experimentarem manipulativos geométricos através de jogo livre. Quando dados uma colecção de sólidos geométricos, os alunos podem manipular físicamente os sólidos para explorar que objectos podem rolar e quais é que não podem. Para além de jogo livre, as crianças podem ser encorajadas a participarem numa exploração mais directa, tais como a selecção de atributos e características, o que permite as crianças observar e pensar sobre as propriedades das formas.
2. Proporcionar vários exemplos e não exemplos, mesmo que a criança não esteja pronta para especificamente identificar os não exemplos. Não exemplos são igualmente tão importante quanto exemplos, porque reconhecer que uma forma particular não é um círculo, requer o mesmo conhecimento como identificar uma forma de um círculo. Exigir que os alunos justifiquem uma resposta irá revelar informações mais diagnósticadas para uso na planificação da instrução. Além disso, a variação da posição da forma durante a apresentação poderá ajudar as crianças a compreenderem que uma forma permanece constante independentemente do seu posicionamento no espaço. Virar uma forma para que fique num vértice, é particularmente útil em oferecer uma grande variedade de orientações de formas.
3. Preste muita atenção à linguagem que utiliza. Dê aos alunos a oportunidade para demonstrarem e explicarem a sua aplicação de termos específicos, para que o educador possa identificar precisamente eventuais situações de maus conceitos. De acordo com o documento Padrões do NCTM (1989), a facilidade da linguagem deve crescer naturalmente a partir da exploração e da experiência. Muitas crianças irão intercambiar palavras para formas bi-dimensionais e tri-dimensionais à medida em que vão aprendendo a terminologia. É certamente admissível aceitar as suas palavras; todavia, os professores devem sempre utilizar correctamente nomes de formas à medida em que vão respondendo aos alunos (figura 4).
4. Desafie a compreensão e as generalizações ampliadas. Para encorajar os alunos a passar para níveis mais altos de pensamento, faça perguntas como: Como é que sabe que esta forma não é um quadrado? Que alterações seriam necessárias para constituir um quadrado? O que é que estas formas têm em comum? Como é que as formas são diferentes? A utilização de afirmações indefinidas e muita simplificação de informações podem fazer com que as crianças inadvertidamente cheguem a conclusões incorrectas sobre conceitos matemáticos.

IDEAIS PARA INSTRUÇÃO: Enquanto praticantes da matemática, nós ganhamos a consciência de que nada é mais importante na construção da geometria nas crianças do que a manipulação, exploração e conversação. Oferecemos duas ideias que pensamos que são particularmente benéficas para os alunos formarem conceitos correctos sobre a geometria.

FORMAS RAZAS E FORMAS GORDAS: Esta actividade pretende ensinar as crianças a estabelecerem diferenças entre formas bi-dimensionais e tri-dimensionais. Aos alunos são dados uma colecção de sólidos geométricos e atributos finos e são solicitados a reconhecerem a colecção de diferentes formas e a partilharem as suas constatações em grupos pequenos. Uma possibilidade de selecção que as crianças descobrem coloca duas formas bi-dimensionais num grupo e três forma tri-dimensionais num outro. Junte pequenos grupos de alunos e encoraje os representantes dos grupos a partilharem possibilidades de selecção. Depois de reconhecer as diversas variantes de selecção, instrua todos os alunos a seleccionarem dimensionalmente e a encontrarem "padrões" em todos os grupos. Possíveis pares de padrões podem ser o cilindro e o círculo, ou o cubo e o quadrado. Encoraje os alunos a explicarem porque é que pensam que as formas bi-dimensionais e tri-dimensionais constituem padrões. Peça que os alunos pensem porque é que algumas figuras tri-dimensionais têm mais do que um padrão (i.e., pirâmide, cone), enquanto que outros (i.e., cubo e esfera) têm apenas um. Quando os alunos pensam através das suas explicações, encoraje-os a traçarem ou a carimbarem as figuras com pintura apenas de um lado, criando figuras bi-dimensionais a partir das tri-dimensionais. Através deste tipo de exploração táctica e conversa rica, novo vocabulário será criado e observação e descrição cautelosa será promovida.

VAZIOS DE PROPRIEDADE: Para explorar ainda mais as propriedades de várias formas, nós utilizamos uma versão modificada da constituição do diagrama Venn, chamado vazio de propriedade. Esta actividade permite às crianças pensarem sobre exemplos de formas que têm características particulares em comum e em contraste. O professor apresenta vazios-- fios ou plástico -- no chão e explica aos alunos que cada vazio tem um título. Os títulos de propriedade, que são escritos nas cartas de índice e colocados em envelopes selados em cada vazio, são conhecidos apenas pelo professor no início da actividade. O professor coloca algumas formas nos vazios que se enquadram na categoria que então distribui o resto das formas aos alunos. Os alunos observam as formas colocadas nos vazios e pensam sobre possíveis modelos que poderiam estar escondidos nos envelopes. Durante este processo, os alunos alternam-se em adicionar aos vazios modelos adicionais que de certa forma coincidem com as propriedades das formas já apresentadas. Antes de colocar uma forma, o aluno explica porque é que um particular local foi escolhido (por exemplo, num vazio, em dois vazios, e não em qualquer outro vazio) para a sua forma, e o professor confirma a resposta ou anuncia que a forma não pode ser colocada por causa dos títulos misteriosos. Depois de todas as formas terem sido correctamente colocadas, e os alunos terem discutidos as suas ideias sobre os títulos de propriedade, os envelopes são abertos. Por último, a turma verifica que a colocação de cada forma, de facto se enquadra nos títulos da propriedade vazia.

Durante este exercício, os alunos utilizam o raciocínio lógico para demonstrar a sua compreensão das propriedades e características geométricas. A natureza desta actividade permite ao professor tratar de uma variada gama de níveis de dificuldades. Para alunos no Jardim, é muito apropriado utilizar apenas um vazio com uma característica, a fim de que ou a forma se enquadre no vazio, ou fora do vazio (vide figura 5). Para crianças de maior idade, o professor pode variar a informação dos vazios (figura 6). O título dado a cada vazio é uma outra forma de ajustar o nível de dificuldade ou dos objectivos da lição. Títulos possíveis podem incluir propriedades tais como o volume de formas, a cor da forma, o número de lados ou cantos, o cumprimento de lados, ou ângulos de forma. Esta actividade permite também um espaço para as formas que não são exemplos das propriedades que são exploradas, porque são colocadas fora dos vazios de propriedade. Como uma actividade de extensão, os alunos podem criar os seus próprios vazios de propriedade e determinar os títulos de cada série.

CONCLUSÃO: Nós não defendemos que um mero conhecimento de terminologia e de propriedades de forma compreenda todos os conceitos da geometria. Todavia, a falta de terminologia correcta e de experiência autêntica cria uma disparidade entre o potencial e a realização desse potencial numa criança. Claramente, uma compreensão sólida da geometria é uma componente necessária da fundação matemática nas crianças.

A instrução na geometria para crianças de tenra idade deve realçar propriedades de formas, seus atributos e características, bem como a interconectividade e aspectos comuns interconectivos e hierárquicos entre e no seio de formas, figuras e sólidos. Além disso, educadores de crianças em tenra idade devem equipar as turmas como inúmeros exemplos e não exemplos de formas e figuras geométricas numa variedade de modelos. Por outro lado, os educadores devem utilizar terminologia correcta, distinguir formas correctamente e explicar propriedades e características conexas. Além do mais, a instrução na geometria devem incluir fundamentos precisos, ao mesmo tempo confrontando os alunos a realizarem níveis altos de pensamento, estabelecer um equilíbrio entre o enriquecimento e a aceleração.

Como educadores, devemos construir um alicerce que seja solidamente reforçado, livre de lacunas e de maus conceitos. Qualquer fraqueza na apresentação e no programa deve ser substituída, restaurada e reconstituída. Uma avaliação constante e uma aprendizagem contínua são essenciais instrumentos para os alunos e os educadores em termos de continuarem a melhorar e a moldar o nosso currículo na geometria para crianças de tenra idade.

MATERIAL ADICIONAL:
FIGURA 1: Uma classificação de quadrilaterais.
FIGURA 2: O padrão da Grace.
FIGURA 3: As formas das camas na história de Goldie Locks (MacCarone 1996).
FIGURA 5: Um vazio de propriedade contendo um distintivo "Não cantos quadrados" (ângulos rectos).
FIGURA 6: Possíveis variações e distintivos de vazios de propriedade.
FIGURA 4: VÁRIAS DEFINIÇÕES (ADAPTAÇÃO DE JAMES E JAMES [1976]).
Trapezoide: Um quadrilateral com dois lados paralelos. É normalmente necessário que os outros dois lados não sejam paralelos. Rhombus: Um paralelograma (quadrilateral com lados paralelos opostos) com todos os lados iguais. Note que um quadrado é um tipo especial de rhombus.
Prisma: Uma figura tri-dimensional formada por duas bases e os dois lados ou faces, que são formados por correspondência conjunta de vértices das bases. As bases, juntamente com os seus interiores, devem ser polígonos do mesmo lado e forma, e paralelo um ao outro. As faces, juntamente com os seus interiores, são paralelogramas (normalmente rectângulos). Uma prisma com bases rectagulares é chamada de "prisma triangular"; Com base rectangular é uma "prisma rectangular". Note que um cubo é um tipo especial de prisma.

REFERÊNCIAS:
Bruni, James V., and Roslynn B. Seidentein. "Geometric Concepts and Spatial Sense". In Mathematics for the Young Child, edited by Joseph N. Payne, 202-27. Reston, Va.: National Council of Teachers of Mathematics, 1990.

Del Grande, John. "Can Grade 2 Children's Spatial Perception Be lmproved by Inserting a Transformational Geometry Component into Their Mathematics program?" Ph.D. diss., Institute for Studies in Education (Ontario), 1985.

Freudenthal, Hans. Mathematics as an Educational Task. Dordrecht, Netherlands: D. Reidel, 1973.

Fuys, David J. and Amy K. Liebov. "Geometry and Spatial Sense". In Research Ideas for the Classroom, edited by R. J. Jensen, 219. New York: Macmillan Publishing Co., 1993.

James, Glenn, and Robert James, eds. Mathematics Dictionary. 4th ed. New York: Van Nostrand Reinhold, 1996.

MacCarone, Grace. The Silly Story of Goldie Locks and the Three Squares. New York: Scolastic Books, 1996.

National Council Teachers of Mathematics (NCTM). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, Va.: NCTM, 1989.

Peter, Andrew. "A Curriculum Out of Balance: A Case Study of Elementary School Mathematics". Educational Researcher 18 (1989): 9-15.

AUTORES: Christine D. Oberdorf e Jennifer Taylor-Cox.
Christine Oberdorf é um Título: Uma especialista da matemática em Montgomery County Public Schools, Rockville, MD 20850. Ela é interessada nas conexões entre a instrução e a avaliação da matemática.

Jennifer Taylor-Cox, jenteach@erols.com, é uma professora académica assistente, se concentra na matemática, em montgomery County Public Schools. Ela é uma candidata no doutoramento e mãe de três filhos.

Editado por Kate Kline, kate.kline@wmich.edu, Departamento da Matemática, Western Michigan University, Kalamazoo, MI 49008. Este departamento aborda as necessidades dos professores de crianças de tenra idade para apoiar compreensões da matemática emergente nas crianças e suas capacidades num contexto que se conforma com o conhecimento corrente sobre a forma pela qual as crianças de tenra idade aprendem a matemática. Os leitores são encorajados a enviarem manuscritos para esta secção para a editora.

FONTE: Ensinar a Matemática às Crianças 5 no 6 340-5 F'99. O publicador da revista é detentor dos direitos de autor deste artigo que é produzido com autorização. Mais reprodução deste artigo em violação dos direitos do autor é proibida.